热门试卷

（Ⅰ）解：∵f‘（x）=-x2+2bx+c，由f（x）在x=1处有极值

可得

解得，或

若b=1，c=-1，则f'（x）=-x2+2x-1=-（x-1）2≤0，此时f（x）没有极值；

若b=-1，c=3，则f'（x）=-x2-2x+3=-（x+3）（x-1）

当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

∴当x=1时，f（x）有极大值，故b=-1，c=3即为所求．

（Ⅱ）证法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）2+b2+c|

当|b|＞1时，函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1.1]之外．

∴f'（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得

故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个，

∴2M≥g（1）+g（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|＞4，即M＞2

证法2（反证法）：因为|b|＞1，所以函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外，

∴f'（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得．

故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个

假设M≤2，则M=maxg{（-1），g（1），g（b）}

将上述两式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，导致矛盾，∴M＞2

（Ⅲ）解法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）2+b2+c|

（1）当|b|＞1时，由（Ⅱ）可知f'（b）-f'（±1）=b（∓1）2≥0；

（2）当|b|≤1时，函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]内，

此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}

由f'（1）-f'（-1）=4b，有f'（b）-f'（±1）=b（∓1）2≥0

①若-1≤b≤0，则f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），∴g（-1）≤max{g（1），g（b）}，

于是

②若0＜b≤1，则f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），∴g（1）≤maxg（-1），g（b）

于是

综上，对任意的b、c都有

而当时，在区间[-1，1]上的最小值

故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为．

解法2：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）2+b2+c|

（1）当|b|＞1时，由（Ⅱ）可知M＞2

（2）当|b|≤1

y=f'（x）时，函数的对称轴x=b位于区间[-1，1]内，

此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}

4M≥g（-1）+g（1）+2g（b）=|-1-2b+c|+|-1+2b+c|+2|b2+c|≥|-1-2b+c+（-1+2b+c）-2（b2+c）|=|2b2+2|≥2，

即

下同解法1

解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b；

则由题意可得，

，

解得，a=0，b=-3，c=-2，

故f（x）=x3-3x-2，

（2）由（1）知，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），

则当x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）时，f′（x）≥0；

当x∈[-1，1]时，f′（x）≤0；

则函数y=f（x）的增区间：（-∞，-1]，[1，+∞）；减区间：[-1，1]．

则f（x）的极大值为f（-1）=0，

f（x）的极小值为f（1）=-4．

解：（Ⅰ）∵f′（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2，

∴f′（x）=3x2+4x+1=3（x+）（x+1），

由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-，

由f′（x）＜0，得：-1＜x＜-，

因此，函数f（x）的单调增区间为（-，-1），（-，1）；单调减区间为（-1，-），

f（x）在x=-1取得极大值为f（-1）=2；f（x）在x=-取得极小值为f（-）=，

（Ⅱ）∵f（x）=x3+ax2+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+1，

∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f′（x）=0有实数解，

∴△=4a2-12≥0，∴a＞或a＜-，

因此，所求实数a的取值范围是（-∞，0]∪[，+∞）．