- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=-x3+ax-4在x=
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（I）由题意可得f′（x）=-3x2+2ax
由题意得f′（
（II）由（1）知f（x）=-x3+2x2-4，则f′（x）=-3x2+4x…（4分）
令f′（x）=0，则x=0，或x=
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
…（9分）
∵关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴-4＜m≤-3 …（12分）
解析
解：（I）由题意可得f′（x）=-3x2+2ax
由题意得f′（
（II）由（1）知f（x）=-x3+2x2-4，则f′（x）=-3x2+4x…（4分）
令f′（x）=0，则x=0，或x=
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
…（9分）
∵关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴-4＜m≤-3 …（12分）
设函数f（x）=ax3+bx2+cx+3-a（a，b，c∈R，且a≠0），当x=-1时，f（x）取得极值为2
（1）用关于a的代数式分别表示b与c
（2）当a=1时，当x∈[-2，1]，求f（x）的最大值与最小值．
正确答案
解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c
∵当x=-1时，f（x）取得极值为2
∴f′（-1）=3a-2b+c=0
f（-1）=-a+b-c+3-a=2
∴b=a+1，c=2-a
（2）当a=1时，b=2，c=1
∴f（x）=x3+2x2+x+2，∴f′（x）=3x2+4x+1
令f′（x）=3x2+4x-1=0，解得，x=1或
当 x变化时，f′（x）、f（x）变化情况如表
∴x∈[-2，1]时，f（x）max=f（1）=6，f（x）min=f（-2）=0
解析
解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c
∵当x=-1时，f（x）取得极值为2
∴f′（-1）=3a-2b+c=0
f（-1）=-a+b-c+3-a=2
∴b=a+1，c=2-a
（2）当a=1时，b=2，c=1
∴f（x）=x3+2x2+x+2，∴f′（x）=3x2+4x+1
令f′（x）=3x2+4x-1=0，解得，x=1或
当 x变化时，f′（x）、f（x）变化情况如表
∴x∈[-2，1]时，f（x）max=f（1）=6，f（x）min=f（-2）=0
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）设定义在[0，1]上的函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e-x（t∈R）的最大值为M，最小值为N，且M＞2N，求实数t的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）函数f（x）=
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0）递增．
即有x=0处，f（x）取得极大值，且为f（0）=1；
（Ⅱ）由M＞2N即2g（x）min＜g（x）max，
∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e-x=
∴g′（x）=
①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴2g（1）＜g（0），即2•
②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增．
∴2g（0）＜g（1），即2＜
③当0＜t＜1时，
在x∈[0，t），g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增．
∴2g（t）＜max{ g（0），g（1）}，
即2•
由（Ⅰ）知，f（t）=2•
故2•
∴所以不等式（*）无解，
综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-
解析
解：（Ⅰ）函数f（x）=
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0）递增．
即有x=0处，f（x）取得极大值，且为f（0）=1；
（Ⅱ）由M＞2N即2g（x）min＜g（x）max，
∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e-x=
∴g′（x）=
①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴2g（1）＜g（0），即2•
②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增．
∴2g（0）＜g（1），即2＜
③当0＜t＜1时，
在x∈[0，t），g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增．
∴2g（t）＜max{ g（0），g（1）}，
即2•
由（Ⅰ）知，f（t）=2•
故2•
∴所以不等式（*）无解，
综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-
函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（ ）
正确答案
解析
解：由f（x）=x3+ax2+bx+a2，
得f′（x）=3x2+2ax+b，
解得
故选D．
已知函数f（x）=
（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程
正确答案
解：（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-
③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-
综上，a的取值范围是a≤-2；
（2）把方程
设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（
H′（x）=2ax+（1-2a）-
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（
所以
所以a的取值范围是（1，
解析
解：（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-
③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-
综上，a的取值范围是a≤-2；
（2）把方程
设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（
H′（x）=2ax+（1-2a）-
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（
所以
所以a的取值范围是（1，
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