- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=1有极值，则3a+2b+c=______．
正确答案
0
解析
解：f′（x）=3ax2+2ax+c，
∴函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=1有极值，
∴f′（1）=3a+2b+c=0．
故答案为：0．
已知函数f（x）=x3+ax2-x+c（x∈R），下列结论错误的是（ ）
A函数f（x）一定存在极大值和极小值
B若函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上是增函数，则x2-x1≥
C函数f（x）的图象是中心对称图形
D函数f（x）一定存在三个零点
正确答案
解析
解：∵f′（x）=3x2+2ax-1．
∴△=4a2+12＞0，
∴f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下
由表格可知：
①x=x1时，函数f（x）取到极大值，x=x2时，函数f（x）取到极小值，故选项A正确，
②函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上是增函数，x2-x1=
③∵f（-
选项A，B，C都正确，利用排除法，选项D错误，
故选：D．
已知函数f（x）=x3+3ax2+3ax+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（-∞，0）∪（1，+∞）
解析
解：求导函数：f′（x）=3x2+6ax+3a，
∵函数f（x）=x3+3ax2+3ax+1既有极大值又有极小值，
∴△=36a2-36a＞0，∴a＜0或a＞1．
故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）．
设a为实数，函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ） 若方程f（x）=0仅有一个实数解，试求a的范围．
正确答案
解：（I） 由f‘（x）=x2-x-2=0，得x=-1或x=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
∴f（x）的极大值是
极小值是
（II） 由（I） 知要使方程f（x）=0仅有一个实数解，
只须f（x）的极大值
即a＜-
解析
解：（I） 由f‘（x）=x2-x-2=0，得x=-1或x=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
∴f（x）的极大值是
极小值是
（II） 由（I） 知要使方程f（x）=0仅有一个实数解，
只须f（x）的极大值
即a＜-
已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间
（Ⅱ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，且x∈（0，+∞），f（x）≥bx-1恒成立，求b的取值范围
（Ⅲ）若n∈N*，比较n！与e
正确答案
解：（Ⅰ）函数f（x）=ax-lnx的导数为f′（x）=a-
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
当a＞0时，f′（x）＞0可得x＞
即有当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的增区间为（
（Ⅱ）∵f′（x）=a-
由f′（1）=0，∴a=1，
∴f（x）≥bx-1⇔1+
令g（x）=1+
由g′（x）≥0得，x≥e2，由g′（x）≤0得，0＜x≤e2，
∴g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，
∴g（x）min=g（e2）=1-
即b≤1-
（Ⅲ）若n∈N*，n！＜e
运用数学归纳法证明．
①当n=1时，1！＜
②设n=k，k∈N*，k!＜
n=k+1时，（k+1）!=（k+1）k!＜（k+1）•
要证（k+1）•
即证k+1＜
设h（x）=ln（1+x）-
h′（x）=
当x＞3时，h（x）递减，当0＜x＜3时，h（x）递增，
即有h（x）＜h（3）=ln4-2＜0，
则有ln（1+x）＜
即为ln（k+1）＜
综上可得，n∈N*，n！＜e
解析
解：（Ⅰ）函数f（x）=ax-lnx的导数为f′（x）=a-
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
当a＞0时，f′（x）＞0可得x＞
即有当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的增区间为（
（Ⅱ）∵f′（x）=a-
由f′（1）=0，∴a=1，
∴f（x）≥bx-1⇔1+
令g（x）=1+
由g′（x）≥0得，x≥e2，由g′（x）≤0得，0＜x≤e2，
∴g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，
∴g（x）min=g（e2）=1-
即b≤1-
（Ⅲ）若n∈N*，n！＜e
运用数学归纳法证明．
①当n=1时，1！＜
②设n=k，k∈N*，k!＜
n=k+1时，（k+1）!=（k+1）k!＜（k+1）•
要证（k+1）•
即证k+1＜
设h（x）=ln（1+x）-
h′（x）=
当x＞3时，h（x）递减，当0＜x＜3时，h（x）递增，
即有h（x）＜h（3）=ln4-2＜0，
则有ln（1+x）＜
即为ln（k+1）＜
综上可得，n∈N*，n！＜e
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