热门试卷

解（1）f′（x）=3mx2-2x+n，由题意知-2和1是方程f′（x）=0的两根，所以-2+1=，-2×1=，解得m=-，n=4．

（2）当m=n=0时，f（x）=-x2+13．

①若a＜b≤0，因为f（x）在[a，b]上单调递增，所以f（a）=4a，f（b）=4b，即，

所以a，b是方程x2+4x-13=0的两个不等实根，但此方程两根异号，与a＜b≤0矛盾，此时无解；

②若0≤a＜b，f（x）在[a，b]上单调递减，

所以f（a）=4b，f（b）=4a，即，解得a=1，b=3，

所以[a，b]=[1，3]；

③若a＜0＜b，f（x）在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，

所以f（x）max=f（0）=13=4b，b=，f（b）=f（）=-+13＞0，

因a＜0，最小值4a＜0，所以f（x）在x=a是取得最小值4a，即-a2+13=4a，解得a=-2-，

此时[a，b]=[-2-，]，

综上所求区间为[1，3]或[-2-，]．

解：（1）∵g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，

∴g（-x）=g（x），可得b=d=0，即g（x）=ax3+cx（a≠0），

又当x=1时，g（x）取得极值-2，∴，即，

解得，故函数g（x）=x3-3x，导函数g′（x）=3x2-3，

令3x2-3=0解得x=±1，当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

当x∈（-1，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

故当x=-1时，g（x）取到极大值g（-1）=2

（2）f（x）-g（x）=2x2+4x-k-x3，对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，

只需k≥2x2+4x-x3，构造函数F（x）=2x2+4x-x3，x∈[-1，3]，F′（x）=-3x2+4x+4，

令]，F′（x）=0可得x=2或x=-，当x∈（-1，）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减

当x∈（，2）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x∈（2，3）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，

当x=2时，F（x）取到极大值F（2）=8，F（-1）=-1，故F（x）的最大值为8，

故实数k的取值范围为：k≥8；

（3）若对任意x1∈[-1，3]，x2∈[-1，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，

即f（x）在区间[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最小值，

由（1）可知：当x∈[-1，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（1，3]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故当x=1时，函数g（x）取到极小值，

也是该区间的最小值g（1）=-2，

而f （x）=2x2+x-k为开口向上的抛物线，对称轴为x=，故当x=3时取最大值f（3）=21-k，

由21-k≤-2，解得k≥23