热门试卷

解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=ln（x+1）+x2-x，

则f′（x）=，（x＞-1）

∴函数在（-1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=ln2-，

∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为ln2-，在x=0处取到极大值为0．

（Ⅱ）由题意

（1）当a≤0时，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，

此时，不存在实数b∈（0，1），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）； …（7分）

（2）当a＞0时，令f‘（x）=0有x=0或，

（ⅰ）当即时，函数f（x）在和（0，+∞）上单调递增，在上单调递减，要存在实数b∈（0，1），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），则，代入化简得…（1）

令，因恒成立，

故恒有，∴时，（1）式恒成立； …（10分）

（ⅱ）当即时，函数f（x）在（-1，0）和上单调递增，在上单调递减，

此时由题，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，又，

∴此时实数a的取值范围是； …（12分）

（ⅲ）当时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，

显然符合题意； …（13分）

综上，实数a的取值范围是（1-ln2，+∞）．…（14分）

解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，

∴f（x）在上递减，在上递增．

（i）当时，函数f（x）在[t，2t]上递减；

（ii）当时，函数f（x）在上递减，在上递增；

（iii）当时，函数f（x）在[t，2t]上单调递增．

（2）y=f（x）+g（x）=xlnx-x2+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a

由题意可得：y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），

即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），

等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点．

∵G′（x）=-+2，

∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），

由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2-x1的值随着a的增大而增大，

而当x2-x1=ln2时，由题意可得，

两式相减可得ln=-2（x2-x1）=-2ln2，

∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，

此时a=ln2-ln（）-1，

∴a＜ln2-ln（）-1，

综上可得：实数a的取值范围为．