热门试卷

解：（1）f‘（x）=3x2+2ax+b

由题设得f'（x）=0的根为或x=1

由此求得a=b=-1

故f（x）=x3-x2-x+3

（2）g（x）=f（x）-（2x2+8x+t）=x3-3x2-9x+3-t

令g'（x）=3x2-6x-9=0，得x=-1或x=3

g（x）极大值=g（-1）=8-t，g（x）极小值=g（3）=-24-t

∴当8-t＜0，即t＞8时，原方程有一个实数根；

当8-t=0，即t=8时，原方程有两个实数根；

即-24＜t＜8时，原方程有三个实数根；

当-24-t=0，即t=-24时，原方程有两个实数根；

当-24-t＞0，即t＜-24时，原方程有一个实数根．

综上，当t=-24或t=8时，原方程有两个实数根；

当t＜-24或t＞8时，原方程有两个实数根；

当-24＜t＜8时，原方程有三个实数根．

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．

当a≥0时f‘（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．

当a＜0时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得此时函数递减．此时函数在x=-处取得极小值．无极大值．

综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．

当a＜0时，函数在x=-处取得极小值．无极大值．

（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），恒成立

由（1）知当a≥0时，f（x1）在（0，+∞）上为增函数，f（x1）无最大值；

当a＜0时，

又g（x2）=x22-2x2+2在x2∈[0，1]上单调递减，所以g（x2）max⁡=g（0）=2．

所以，解得a＜-e-3．

所以，实数a的取值范围是（-∞，-e-3）．