函数的极值与导数的关系
共7619题

· 函数的极值与导数的关系

函数的极值与导数的关系
共7619题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：单选题

单选题

如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在区间[a，b]内的极值点有（　　）

正确答案

解析

解：由题意得：f（x）在（a，x2）递增，在（x2，x4）递减，在（x4，b）递增，

∴函数f（x）在x=x2，x=x4处有极值，

故选：C．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=-alnx（a∈R）

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围；

（3）当a=1时，探究当x∈（1，+∞）时，函数y=f（x）的图象与函数h（x）=-x+1图象之间的关系，并证明你的结论．

正确答案

解：（1），

若a≤0，则f‘（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增；

若a＞0，则由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得；

此时增区间为，减区间为．

当a＞0时，显见为极小值点，极小值为；

当a≤0时，无极值．

（2）g′（x）=x-+2=（x＞0），

设h（x）=x2+2x-a，（x＞0）；

若g（x）在[1，e]上不单调，

则h（1）h（e）＜0，

即（3-a）（e2+2e-a）＜0；

即3＜a＜e2+2e；

同时g（x）仅在x=e处取得最大值，

∴g（e）＞g（1），即可得出：a＜+2e-，

故a的范围：（3，+2e-）．

（3）在区间（1，+∞）上，函数y=f（x）的图象总在函数图象的上方．证明如下，

即证：当x＞1，f（x）＞h（x），即lnx+1＜x．

设m（x）=lnx+1-x，显见，，

有m（x）在（1，+∞）减，

所以m（x）＜m（1）=0，

即在区间（1，+∞）上，函数y=f（x）的图象总在函数图象的上方．

解析

解：（1），

若a≤0，则f‘（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增；

若a＞0，则由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得；

此时增区间为，减区间为．

当a＞0时，显见为极小值点，极小值为；

当a≤0时，无极值．

（2）g′（x）=x-+2=（x＞0），

设h（x）=x2+2x-a，（x＞0）；

若g（x）在[1，e]上不单调，

则h（1）h（e）＜0，

即（3-a）（e2+2e-a）＜0；

即3＜a＜e2+2e；

同时g（x）仅在x=e处取得最大值，

∴g（e）＞g（1），即可得出：a＜+2e-，

故a的范围：（3，+2e-）．

（3）在区间（1，+∞）上，函数y=f（x）的图象总在函数图象的上方．证明如下，

即证：当x＞1，f（x）＞h（x），即lnx+1＜x．

设m（x）=lnx+1-x，显见，，

有m（x）在（1，+∞）减，

所以m（x）＜m（1）=0，

即在区间（1，+∞）上，函数y=f（x）的图象总在函数图象的上方．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．

（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，-5），求b的值；

（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f‘（x），若关于x的方程f（x）-x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx-5，

因为，

所以k=11，故切线方程为y=11x-5．

当x=1时，y=6，将（1，6）代入，

得． …（3分）

（Ⅱ）f‘（x）=3x2+5x+a，

由题意得方程有唯一解，

即方程有唯一解．

令，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），

所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数．

又，

故实数b的取值范围是． …（8分）

（Ⅲ）F（x）=ax-x2-lnx，

所以．

因为F（x）存在极值，所以在（0，+∞）上有根，

即方程2x2-ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a2-8≥0．

显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；

所以方程必有两个不等正根．

记方程2x2-ax+1=0的两根为x1，x2，则

=＞，

解得a2＞16，满足△＞0．

又，即a＞0，

故所求a的取值范围是（4，+∞）． …（14分）

解析

解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx-5，

因为，

所以k=11，故切线方程为y=11x-5．

当x=1时，y=6，将（1，6）代入，

得． …（3分）

（Ⅱ）f‘（x）=3x2+5x+a，

由题意得方程有唯一解，

即方程有唯一解．

令，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），

所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数．

又，

故实数b的取值范围是． …（8分）

（Ⅲ）F（x）=ax-x2-lnx，

所以．

因为F（x）存在极值，所以在（0，+∞）上有根，

即方程2x2-ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a2-8≥0．

显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；

所以方程必有两个不等正根．

记方程2x2-ax+1=0的两根为x1，x2，则

=＞，

解得a2＞16，满足△＞0．

又，即a＞0，

故所求a的取值范围是（4，+∞）． …（14分）

题型：单选题

单选题

设x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=lnx+x2-（b-1）x的两个极值点，若b≥，则的最大值为（　　）

正确答案

解析

解：f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=+x-（b-1）=，

故x1，x2是方程x2-（b-1）x+1=0的根，

∴，

由x1•x2=1，x1＜x2得：

0＜x1＜1，x2＞1，

而b≥，则x1+x2≥，

∴x1+≥，解得：x1≤，

∴=≤，

故选：B．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，则：

（1）求实数a的范围；

（Ⅱ）求f（x2）的范围．

正确答案

解：（1）∵f′（x）=2x-2+=，（x＞0）

又函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1、x2，

∴f′（x）=0有两个不同的根，

∴方程2x2-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜，

∵x1+x2=1，x1•x2=＞0，

∴a＞0，

∴a的取值范围是（0，）．

（2）∵0＜x1＜x2，x1+x2=1，

∴＜x2＜1，a=2x2-2，

∴f（x2）=-2x2+1+（2x2-2）lnx2，

令g（t）=t2-2t+1+（2t-2t2）lnt，其中＜t＜1，

则g′（t）=2（1-2t）lnt，

当t∈（，1）时，g′（t）＞0，

∴g（t）在（，1）上是增函数，

∴g（t）＞g（）=，

∴g（t）＜g（1）=0，

∴f（x2）的取值范围是：（，0）．

解析

解：（1）∵f′（x）=2x-2+=，（x＞0）

又函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1、x2，

∴f′（x）=0有两个不同的根，

∴方程2x2-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜，

∵x1+x2=1，x1•x2=＞0，

∴a＞0，

∴a的取值范围是（0，）．

（2）∵0＜x1＜x2，x1+x2=1，

∴＜x2＜1，a=2x2-2，

∴f（x2）=-2x2+1+（2x2-2）lnx2，

令g（t）=t2-2t+1+（2t-2t2）lnt，其中＜t＜1，

则g′（t）=2（1-2t）lnt，

当t∈（，1）时，g′（t）＞0，

∴g（t）在（，1）上是增函数，

∴g（t）＞g（）=，

∴g（t）＜g（1）=0，

∴f（x2）的取值范围是：（，0）．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 函数的最值与导数的关系

百度题库 > 高考 > 数学 > 函数的极值与导数的关系

扫码查看完整答案与解析