热门试卷

解：（1）∵函数f（x）=2x3+ax2+bx+3在x=-1和x=2处取得极值，

∴f′（x）=6x2+2ax+b=0的两根为-1和2，

由根与系数关系得：，解得．

∴f（x）=2x3-3x2-12x+3．

∴f′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2）．

令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞2；

令f′（x）＜0，得-1＜x＜2．

∴f（x）在（-∞，-1]，[2，+∞）上为增函数，在（-1，2）上为减函数．

∴f（x）极大值=f（-1）=10，f（x）极小值=f（2）=-17；

（2）由（1）知，f（x）在（-∞，-1]，[2，+∞）上为增函数，

∴要使f（x）在区间[m，m+4]上是单调增函数，

则m+4≤-1或m≥2．

∴m≤-5或m≥2．

即m的取值范围是（-∞，-5]∪[2，+∞）．

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

当f′（x）＞0，即时，f（x）为单调递增函数；

当f′（x）＜0，即时，f（x）为单调递减函数；

所以，f（x）的单调递增区间是，f（x）的单调递减区间是

（Ⅱ）由不等式f（x）＜x+m，得f（x）-x＜m，令F（x）=f（x）-x，则F（x）=（e-1）x-lnx

由题意可转化为：在区间内，F（x）min＜m，，令F′（x）=0，得

由表可知：F（x）的极小值是且唯一，

所以F（x）min=1+ln（e-1）．因此，所求m的取值范围是（1+ln（e-1），+∞）．