- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
如图是导函数y=f′（x）的图象，在标记的点中，函数有极小值的是（ ）
正确答案
解析
解：根据导数的几何意义得：
函数f（x）在区间（-∞，x3），（x5，+∞）是增函数，在区间（x3，x5）上是减函数，
当x=x5时函数f（x）有极小值，
故选C．
设f（x）是一个多项式函数，在[a，b]上下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，极值与端点的函数值比较，较大（或较小）值为最值，故A不正确；
极值是函数的局部性质，一个可导函数在某点处有极值的充要条件是这个函数在该点处的导数等于0而且在该点两侧导数异号．而函数在闭区间上，可以没有极值点，没有极值，但一定有最值，故C正确，B，D不正确
故选C．
函数y=x+
正确答案
解析
解：函数的定义域为{x|x≠0}
因为f（x）=x+
所以f′（x）=1-
当x＜-1或x＞1时，y′＞0；当-1＜x＜0或0＜x＜1时，y′＜0，
所以当x=-1时函数有极大值-2；当x=1时函数有极小值2．
故选B．
已知函数f（x）=2x3+ax2+bx+3在x=-1和x=2处取得极值．
（1）求f（x）的表达式和极值．
（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．
正确答案
解：（1）∵f′（x）=6x2+2ax+b
∴
解得
∴f（x）=2x3-3x2-12x+3
f′（x）=6x2-6x-12
f′（x）＞0解得x＜-1或x＞2
由f′（x）＜0解得-1＜x＜2
故函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）递增，函数在（-1，2）递减
所以当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17
（2）由（1）知，若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，需
m+4≤-1或
所以m≤-5或m≥2
解析
解：（1）∵f′（x）=6x2+2ax+b
∴
解得
∴f（x）=2x3-3x2-12x+3
f′（x）=6x2-6x-12
f′（x）＞0解得x＜-1或x＞2
由f′（x）＜0解得-1＜x＜2
故函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）递增，函数在（-1，2）递减
所以当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17
（2）由（1）知，若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，需
m+4≤-1或
所以m≤-5或m≥2
函数f（x）=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=______．
正确答案
-2
解析
解：∵f（x）=x3+ax2+x+b，
f′（x）=3x2+2ax+1，
又∵f（x）在x=1时取得极值，
∴f′（1）=3+2a+1=0，
∴a=-2．
故答案为：-2．
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