- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知a、b、c∈R，函数f（x）=x3-ax2+bx-c，f‘（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）若f'（x）的值域为[0，+∞），求a，b的关系式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）问的条件下，求目标函数z=2a-b的最大值；
（Ⅲ）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值，且-1＜α＜0＜β＜1，试求方程f（x）=0的三个根两两不等时c的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）f‘（x）=3x2-2ax+b，由已知得3x2-2ax+b=0的判别式△=0
得
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，为使z最大，只需-z最小．
在坐标系aOb中，抛物线
令切点M（m，n）.
所以z的最大值等于2×3-3=3．…（8分）
（Ⅲ）令f（x）=x3-ax2+bx-c，要f（x）=0有三个不等的实数根，
则函数f（x）有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0．
由已知，得f'（x）=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β．
∵-1＜α＜0＜β＜1．
∴
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1代入（1）（3）得a=0．
∴
在x=
则必须
得
解析
解：（Ⅰ）f‘（x）=3x2-2ax+b，由已知得3x2-2ax+b=0的判别式△=0
得
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，为使z最大，只需-z最小．
在坐标系aOb中，抛物线
令切点M（m，n）.
所以z的最大值等于2×3-3=3．…（8分）
（Ⅲ）令f（x）=x3-ax2+bx-c，要f（x）=0有三个不等的实数根，
则函数f（x）有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0．
由已知，得f'（x）=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β．
∵-1＜α＜0＜β＜1．
∴
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1代入（1）（3）得a=0．
∴
在x=
则必须
得
设函数f（x）=x3-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）
∴当
∴f（x）的单调递增区间是
当
（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向
∴当
解析
解：（1）
∴当
∴f（x）的单调递增区间是
当
（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向
∴当
f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的（ ）
正确答案
解析
解：例如：f（x）=|x|在x=0处有极值，但x=0处不可导，
所以f‘（0）≠0
∴不必要，
而f（x）=x3在x=0处的导数为0，
但不取得极值．
∴不充分，
∴f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的即不充分也不必要条件；
故选D．
已知函数f（x）满足
正确答案
x=0
解析
解：f′（x）=f′（1）ex-1-f（0）+x，∴f′（0）=f′（1）e-1-f（0），f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
解得f（0）=1，∴1=f（0）=f′（1）e-1，解得f′（1）=e．
∴f′（x）=ex-1+x，
解f′（x）=0，得x=0．
解f′（x）＞0，得x＞0；解f′（x）＜0，得x＜0．
∴f（x）的极值点为x=0．
已知函数f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，则
A
B-2
C-2或
D不存在
正确答案
解析
解：∵f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
又f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a2-7a=10，
∴a2+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），
当
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
∴
故选A．
扫码查看完整答案与解析