- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
④函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①②③
解析
解：由导函数的图象可知，在定义域[-1，5]上，导函数有3个零点，分别是0，2，4，
且当x∈（-1，0）和x∈（2，4）时，导函数大于0，所以原函数在（-1，0），（2，4）上为增函数，
当x∈（0，2）和x∈（4，5）时，导函数小于0，所以原函数在（0，2），（4，5）上为减函数．
又f（-1）=1，f（0）=2，f（2）=1，f（4）=2，f（5）=1，
所以原函数的图象大致为：
由图可知：函数f（x）的极大值点为0，4．所以命题①正确；
函数f（x）在[0，2]上为减函数．所以命题②正确；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．所以命题③正确；
函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、2、3、4个．所以命题④不正确．
故答案为①②③．
函数f（x）=
正确答案
a≤-1或a≥9
解析
解：函数f（x）=
⇔函数f（x）=
⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（1，3）内恒成立．
由f′（x）=x2-
⇔a≤（x3-2x2）min，x∈（1，3）．即a≤-
由f′（x）=x2-
⇔a≥（x3-2x2）max，x∈（1，3）．即a≥9，
故答案为：a≤-
已知函数f（x）=
（1）若函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围．
（2）求证：x≥1时，x（x+1）f（x）＞
正确答案
（1）解：∵f（x）=
∴f′（x）=-
∴（0，1）上，f′（x）＞0，（1，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∵函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，
∴
∴1＜a＜2；
（2）证明：设h（x）=x（x+1）f（x）-
∵x≥1，∴h′（x）＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=2-
∴x≥1时，x（x+1）f（x）＞
解析
（1）解：∵f（x）=
∴f′（x）=-
∴（0，1）上，f′（x）＞0，（1，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∵函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，
∴
∴1＜a＜2；
（2）证明：设h（x）=x（x+1）f（x）-
∵x≥1，∴h′（x）＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=2-
∴x≥1时，x（x+1）f（x）＞
函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则a+b=______．
正确答案
7
解析
解：对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2-2ax-b，
又∵在x=1时f（x）有极值10，
∴
解得：
a=3，b=-3时：
f′（x）=3（x-1）2≥0（此时无极值，舍）．
a=-4，b=11时，符合题意，
∴a+b=7，
故答案为：7．
设x=1和x=2是函数f（x）=x5+ax3+bx+1的两个极值点．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
正确答案
解：（Ⅰ）因为f′（x）=5x4+3ax2+b
由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=24×5+22×3a+b=0
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x4+3ax2+b=5（x2-1）（x4-4）=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）
当x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（-2，-1）∪（1，2）时，f′（x）＜0
因此f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞）
f（x）的单调减区间是（-2，-1），（1，2）
解析
解：（Ⅰ）因为f′（x）=5x4+3ax2+b
由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=24×5+22×3a+b=0
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x4+3ax2+b=5（x2-1）（x4-4）=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）
当x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（-2，-1）∪（1，2）时，f′（x）＜0
因此f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞）
f（x）的单调减区间是（-2，-1），（1，2）
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