热门试卷

解：（1）f′（x）=3x2-a，

根据题意得：f′（2）=12-a=0①，f（2）=8-2a+b=-8②．

联立①②解得a=12，b=8．

所以a=12，b=8．

（2）由（1）知：f（x）=x3-12x+8，f′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2），

令f′（x）=0得x=±2，

当x＜-2或x＞2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，

所以当x=-2时f（x）取得极大值，f（-2）=24，当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=-8．

又f（-3）=17，f（3）=-1，

所以当x∈[-3，3]时，fmax（x）=24，fmin（x）=-8．

所以所求函数值域为：[-8，24]．

解：

（1）f′（x）=ex（x-a）[x2+（3-a+b）x+2b-ab-a]，

令g（x）=x2+（3-a+b）x+2b-ab-a，

则△=（3-a+b）2-4（2b-ab-a）=（a+b-1）2+8＞0，

于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1＜x2．

①当x1=a或x2=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．

②当x1≠a且x2≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x1＜a＜x2．

即g（a）＜0，

即a2+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0，

所以b＜-a，

所以b的取值范围是：（-∞，-a）．

（2）由（1）可知，假设存在b及x4满足题意，则

①当x2-a=a-x1时，则x4=2x2-a或x4=2x1-a，于是2a=x1+x2=a-b-3，即b=-a-3．

此时x4=2x2-a=a-b-3+-a=a+2，

或x4=2x1-a=a-b-3--a=a-2，

②当x2-a≠a-x1时，则x2-a=2（a-x1）或a-x1=2（x2-a），

（ⅰ）若x2-a=2（a-x4），则x4=，于是3a=2x1+x2=，

即 =-3（a+b+3），于是a+b-1=，

此时x4===-b-3=a+．

（ⅱ）若a-x1=2（x2-a），则x4=，

于是3a=2x2+x1=，

即 =3（a+b+3），于是a+b-1=．

此时x2===-b-3=a+．

综上所述，存在b满足题意．当b=-a-3时，x4=a±2；

当b=-a-时，x4=a+；

当b=-a-时，x4=a+．

解：（I）f‘（x）=12x2-6xsinθ令f'（x）=0得

函数f（x）存在极值，sinθ≠0，（1分）

由θ∈[0，π]及（I），只需考虑sinθ＞0的情况．

当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

因此，函数f（x）在处取得极小值，且=（3分）

要使＞0，必有可得

所以θ的取值范围是（5分）

（II）由（I）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与内都是增函数．

由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，则a须满足不等式组

，或，

∵

∴要使不等式关于参数θ恒成立，必有．

解得a≤0或，所以a的取值范围是．（8分）

（III）用反证法证明：

假设f（x0）≠x0，则f（x0）＜x0，或f（x0）＞x0，

∵，，

∴，或

当时，

∵函数f（x）在区间内是增函数，

∴f[f（x0）]＜f（x0），即x0＜f（x0）矛盾；

当时，

∵函数f（x）在区间内是增函数，

∴f[f（x0）]＞f（x0），即x0＞f（x0）也矛盾；

故假设不成立，即f（x0）=x0成立．（12分）