- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=x（x-m）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（ ）
正确答案
解析
解：求导函数，可得f′（x）=（4x-m）（x-m）2，
∵在x=2处取得的极小值，
∴f′（2）=（8-m）（2-m）2=0，
∴m=2或8，
m=2时，f′（x）≥0，在x=2处不取极值，舍去，
m=8时，函数f（x）=x（x-m）3在x=2处取得极小值．
故选：B．
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与x轴有三个不同交点（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=1，x=2时取得极值，则x1•x2的值为______．
正确答案
6
解析
解：∵f（0）=0，∴d=0，
∴f（x）=ax3+bx2+cx=x（ax2+bx+c），
又f（x1）=f（x2）=0，∴x1，x2是ax2+bx+c=0两根，且a≠0．
由韦达定理x1x2=
∵f′（x）=3ax2+2bx+c，f（x）在x=1，x=2时取得极值，
∴1×2=
∴x1x2=
故答案为：6．
（2016•陕西一模）对于函数f（x）=eax-lnx（a是实常数），下列结论正确的一个是（ ）
Aa=1时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（
Ba=2时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（0，
Ca=
Da＜0时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（-∞，0）
正确答案
解析
解：∵f（x）=eax-lnx，
∴函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=aeax-
若a=
则f′（x）=
f′（1）=
∴函数f（x）存在极小值，且f′（x）=0的根在区间（1，2）内，
故选：C
设函数f（x）=ex（sinx+cosx），若0＜x＜2015π，则函数f（x）的各极大值之和为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：令f′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx-sinx）=2excosx=0；
则x=kπ+
则函数f（x）在0＜x＜2015π的极大值有：
则
=
故选D．
已知函数F（x）=|2x-t|-x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）．
（Ⅰ）写出此函数F（x）在R上的单调区间；
（Ⅱ）若方程F（x）-k=0恰有两解，求实数k的值．
正确答案
解：（Ⅰ）F（x）=|2x-t|-x3+x+1=
∴F‘（x）=
由-3x2+3=0得x1=-1，x2=1，而-3x2-1＜0恒成立，
∴i）当
在区间（-1，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数．
ii）当1＞
在区间（
iii）当
（II）由1）可知
i）当
在x=1处取得极大值3-t，若方程F（x）-m=0恰有两解，
此时m=-1-t或m=3-t．
ii）当-1≤
在x=1处取得极大值3-t，若方程F（x）-m=0恰有两解，
此时m=-
iii）当
解析
解：（Ⅰ）F（x）=|2x-t|-x3+x+1=
∴F‘（x）=
由-3x2+3=0得x1=-1，x2=1，而-3x2-1＜0恒成立，
∴i）当
在区间（-1，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数．
ii）当1＞
在区间（
iii）当
（II）由1）可知
i）当
在x=1处取得极大值3-t，若方程F（x）-m=0恰有两解，
此时m=-1-t或m=3-t．
ii）当-1≤
在x=1处取得极大值3-t，若方程F（x）-m=0恰有两解，
此时m=-
iii）当
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