热门试卷

解：（I）∵f（x）=lnx-bx-，

∴f′（x）=，

∵在x=1时取得极值，

∴f′（1）=-b+1+a=0

∴a-b=-1              …4分

（II）a=-2，b=-1，

∴，

∴，

∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，

∴f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值，

∴f（x）min=f（1）=3…8分

（III）由（II）知f（x）min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减．

∵，

∴

∴ln+-＞0，∴n（n+1）ln＞0-（n+2），

∴（）n（n+1）与（）n+2  …（13分）

解：（1）由题意：f（x）≥g（x）⇔x2-ax≥lnx，（x＞0）

分离参数α可得：a≤，（x＞0）…（1分）

设，则=…（2分）

由于函数y=x2，y=lnx在区间（0，+∞）上都是增函数，所以

函数y=x2+lnx-1在区间（0，+∞）上也是增函数，显然x=1时，该函数值为0

所以当x∈（0，1）时，Φ′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，Φ′（x）＞0

所以函数Φ（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数

所以Φ（x）min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）min=1即a∈（-∞，1）…（4分）

（2）由题意知道：h（x）=x2-ax+lnx．则

所以方程2x2-ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且，

又因为，所以，且…（6分）

而h（x1）-h（x2）=

=

==═，（x2＞1）

设，则

所以，即…（8分）

（3）

所以=…（9分）

因为a∈（1，2），所以

所以当时，r（x）是增函数，所以当时，

，a∈（1，2）…（10分）

所以，要满足题意就需要满足下面的条件：，

若令，a∈（1，2），

即对任意a∈（1，2），＞0恒成立

因为φ′（a）==…（11分）

分类讨论如下：

①若k=0，则，所以φ（a）在（1，2）递减，

此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意

②若k＜0，则，所以φ（a）在区间（1，2）递减，

此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．

③若k＞0，则，那么当时，假设t为2与中较小的一个数，即t={}，

则φ（a）在区间（1，min{}）上递减，此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．

综上可得解得，即实数k的取值范围为…（14分）

解：（Ⅰ） f′（x）=2ex（x+1）+2ex=2ex（x+2），…（1分）

由f′（x）＞0得x＞-2，由f‘（x）＜0得x＜-2，

∴f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．…（3分）

∴f（x）极小值=f（-2）=-2e-2，不存在极大值．…（4分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．

∵t＞-3，∴t+1＞-2

①当-3＜t＜-2时，f（x）在[t，-2]单调递减，[-2，t+1]单调递增，

∴．…（6分）

②当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，

∴；    …（8分）

综上可得，当-3＜t＜-2时，，

当t≥-2时，…（9分）

（Ⅲ）由题意得F（x）=4ex（x+1）-x2-4x，

∴F′（x）=4ex（x+1）+4ex-2x-4=2（x+2）（2ex-1），…（10分）

由F′（x）＞0得：x＞-ln2或x＜-2，由F′（x）＜0得：-2＜x＜-ln2，

所以F（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln2）上单调递减…（12分）

∴

当x→-∞时，F（x）＜0，

故函数F（x）=2f（x）-g（x）+2只有一个零点．…（14分）