热门试卷

解：（Ⅰ）f（x）=x（x-a）2+b=x3-2ax2+a2x+b⇒f‘（x）=3x2-4ax+a2，f'（2）=12-8a+a2=0⇒a=2或a=6，

当a=2时，函数在x=2处取得极小值，舍去；

当a=6时，f'（x）=3x2-24x+36=3（x-2）（x-6），

函数在x=2处取得极大值，符合题意，∴a=6．

∵当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，

∴x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，

即b＜-x3+3x2+9x+1在x∈[-2，4]时恒成立，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，

则h'（x）=-3x2+6x+9=-3（x-3）（x+1），由h'（x）=0得，x1=-1，x2=3．

∵h（-2）=3，h（-1）=-4，h（3）=28，h（4）=21，

∴h（x）在[-2，4]上的最小值是-4，b＜-4．

（Ⅱ）f（x）=x3-12x2+36x+b，设切点为，

则切线斜率为，

切线方程为，

即  ，

∴．

令g（x）=2x3-12x2，则g'（x）=6x2-24x=6x（x-4），

由g'（x）=0得，x1=0，x2=4．

函数g（x）的单调性如下：

∴当-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切．

解：（1）∵f（x）=ex-x2-ax，

∴f‘（x）=ex-x-a，

∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1-a，

∵切线方程为y=2x+b，则k=2，

∴1-a=2，解得a=-1，

∴，

∴f（0）=1，即切点（0，1），

∴1=2×0+b，解得b=1；

（2）∵函数f（x）在R上是增函数，

∴f'（x）＞0在R上恒成立，即ex-x-a＞0在R上恒成立，

∴a＜ex-x在R上恒成立，

令h（x）=ex-x，则h'（x）=ex-1=0，得x=0，

列表如下：

∴h（x）min=h（0）=1，

∴a≤1，

故实数a的取值范围a≤1；

（3）∵g（x）=f（x）-（a-）x2，

∴，

∴g'（x）=ex-2ax-a，

∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），

当a≤0时，g'（x）＞0，即g（x）是R上的增函数，与已知矛盾，

∴a＞0，且g'（x1）=0，g'（x2）=0，

∴，且．

两式相减，可得，

∴要证明，即证明，

∴两边同除以，即证，

即证（x1-x2）＞，

即证（x1-x2）-＞0，

令x1-x2=t，则t＜0，

即证不等式在t＜0时恒成立，

令，

∴==，

由（2）可知，，即，

∴φ′（t）＜0，

∴φ（t）在t＜0时是减函数，

∴φ（t）在t=0时取得极小值φ（0）=0，

∴φ（t）＞0，

∴在t＜0时恒成立，

∴．