热门试卷

解：（Ⅰ）由，得f′（x）=2x2-2ax-2a．

因为x=1是函数f（x）的极值点，

所以f′（1）=2-2a-2a=0，解得．

经检验x=1为函数f（x）的极值点，

所以．

（Ⅱ）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，

∴f‘（x）=2x2-2ax-2a≥0在区间（2，+∞）上恒成立，

∴a≤对区间x∈（2，+∞）恒成立，

令g（x）=，则g'（x）==

∴当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，有g（x）=＞g（2）=，

∴a的取值范围为（-∞，]．

解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+ax2+bx+4，

∴f′（x）=3x2+2ax+b…（1分）

又∵函数f（x）=0在x=0处取得极值

∴f′（0）=b=0；　　　　　　              …（2分）

（Ⅱ） 当a=-3时，f（x）=x3-3x2+4

∴f′（x）=3x2-6x=0

得x=0或x=2                  …（3分）

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表

由表可知，当x=-2时，f（x）取得最小值f（-2）=-16           …（5分）

∵函数f（x）≥c2-10c在区间[-2，2]上恒成立，

∴-16≥c2-10c，解得2≤c≤8；           …（7分）

（Ⅲ）∵g（x）=ex=ex（3x+2a），

∴g′（x）=ex（3x+2a+3），x∈[0，1]…（8分）

①当a≤-3时，-≥1，

∴x∈[0，1]时，g′（x）≤0，

∴g（x）的单调递减区间为[0，1]；                …（9分）

②当-3＜a＜-时，0＜-＜1

当x∈（0，-）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间为（0，-），

当x∈（-，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）的单调递增区间（-，1），…（11分）

③当a≥-时，-≤0

∴当x∈[0，1]时，g′（x）≥0，

∴g（x）的单调递增区间为[0，1]…（12分）

解：（1）当a=-1时，f（x）=|x+1|+lnx，

由于x＞0，则f（x）=x+1+lnx，

f′（x）=1+，

f（x）在x=1处的切线斜率为k=，切点为（1，2），

即有f（x）在x=1处的切线方程为y-2=（x-1），

即为3x-2y+1=0；

（2）由题意，函数的定义域为（0，+∞），

当a≤0时，f（x）=|x-a|-lnx=x-a-lnx，f′（x）=1-＞0，

函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无最小值；

当a＞0时，f（x）=|x-a|-lnx=，

若x≥a，f′（x）=1-=＞0，此时函数f（x）单调递增，

若x＜a，f′（x）=-1-＜0，此时函数f（x）单调递减，

当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． 

即有x=a时，f（x）取得最小值，且为f（a）=a，即有-lna=a，

解得a=；

（3）证明：由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，

此时函数至多只有一个零点，不合题意；                      

则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），

由题意，必须f（a）=-lna＜0，解得a＞1，

由f（1）=a-1-lna＞0，f（a）＜0，

得x1∈（1，a），

而f（a2）=a2-a-alna=a（a-1-lna），

下面证明：a＞1时，a-1-lna＞0，

设g（x）=x-1-lnx，x＞1

则g′（x）=1-，

所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，

所以f（a2）=a2-a-alna=a（a-1-lna）＞0，

又f（a）＜0，

所以x2∈（a，a2），

综上，1＜x1＜a＜x2＜a2．