热门试卷

解：（Ⅰ）f′（x）=4x+-8a=

=，

∵x=3是f（x）的一个极值，

∴f′（3）=4（3-a）2-a2+3a=0，

解得，a=4或a=3；

而当a=3时，f′（x）≥0，故不成立，

当a=4时，满足条件，

故a=4．

（II）f′（x）=4x+-8a=

设g（x）=4x2-8ax+3（a2+a），△=16（a2-3a），

设g（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），

（1）当△≤0，即0≤a≤3时，

∴f（x）不单调，不满足题意；

（2）当△＞0，即a＜0或a＞3时，

①若x1＜0＜x2，则（a2+a）＜0，即-1＜a＜0，

此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，

在（x2，+∞）上单调递增，

而f′（x）在（0，+∞）上单调递增，

故不满足题意，

②若x1＜x2≤0，则，

解得a≤-1，

此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，满足题意；

③若0＜x1＜x2，则，

则a＞0，

此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，不满足题意；

综上所述，a的取值范围为（-∞，-1]．

解：（1）∵f（x）=e-2x，

∴f′（x）=e-2x，

∵函数y=f（x）在x=2时有极值，

∴f′（2）=0，

∴5a+3=0，

∴a=-；

（2）由对任意x∈（0，1）时，f（x）＞1恒成立，

可知a＞，

下面证明x∈（0，1）时，＜1恒成立，

只需证明：（1-x）e2x＜1+x，

只需证明x∈（0，1）时，g（x）=（x-1）e2x+（x+1）＞0．

∵g′（x）=e2x（2x-1）+1＞g′（0）=0，

∴g（x）在（0，1）上单调递增，

∴g（x）＞g（0）=0恒成立，

∴x∈（0，1）时，＜1恒成立，

=（m（x）=（1-x）e2x）=m′（x）|x=1=1，

∴的最小上界为1，

∴a≥1．