- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，则f（x）的极大值是（ ）
正确答案
解析
解：f′（x）=3ax2+2bx-3，
∵函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，
∴
解得，a=1，b=0，
故f（x）=x3-3x，
且f（-1）=-1+3=2，
f（1）=1-3=-2，
故选A．
对于三次函数f′（x），给出定义：设f′（x）是函数f″（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=
正确答案
解析
解：依题意得：g′（x）=x2-x-3，g″（x）=2x-1，
令g″（x）=0得x=
则g（1-x）+g（x）=2．因为
所以
故选：D．
函数f（x）=x3-3x+2，（x∈R）的极小值是______．
正确答案
0
解析
解析：令f′（x）=3x2-3=0，得x=±1，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，该函数在（-∞，-1）单调递增，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，该函数在（-1，1）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，该函数在（1，+∞）单调递增．
则该函数在x=1处取得极小值f（1）=13-3+2=0．
故答案为：0．
正确答案
解析
解：由函数y=xf′（x）的图象可知：
当x＜-1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增
当-1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
综上所述，函数f（x）大致图象是
故f′（1）=0，f′（-1）=0，所以A、B、D正确；
故选C．
已知f（x）=lnx，g（x）=
（Ⅰ）当a=4，b=2时，求h（x）的极大值点；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点做x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
正确答案
（I）解：h（x）=lnx-2x2-2x
∴h′（x）=
令h′（x）=0，则4x2+2x-1=0，
解出x1=
∴h（x）在（0，
∴h（x）的极大值点为
（II）证明：设点P（x1，y1）Q（x2，y2）
则PQ的中点R的横坐标
C1在点M处的切线的斜率为k1=
C2在点N处的切线的斜率为k2=
假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则斜率相等
即ln
设u=
则lnu=
令r（u）=lnu-
则r′（u）=
∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞
∵①与②矛盾，
∴假设不成立，故C1点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
解析
（I）解：h（x）=lnx-2x2-2x
∴h′（x）=
令h′（x）=0，则4x2+2x-1=0，
解出x1=
∴h（x）在（0，
∴h（x）的极大值点为
（II）证明：设点P（x1，y1）Q（x2，y2）
则PQ的中点R的横坐标
C1在点M处的切线的斜率为k1=
C2在点N处的切线的斜率为k2=
假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则斜率相等
即ln
设u=
则lnu=
令r（u）=lnu-
则r′（u）=
∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞
∵①与②矛盾，
∴假设不成立，故C1点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
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