热门试卷

（1）解：f′（x）=3ax2+2bx，f′（2）=-2，∴12a+4b=-2①

将x=2代入切线方程得y=-，∴8a+4b=-②

①②联立，解得a=-，b=；

（2）解：由（1）得，f（x）=-x3+x2，f′（x）=-x2+x，

∴-x2+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，

即x2-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；

设g（x）=x2-x+kln（x+1），g（0）=0，

∴只需对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），

g′（x）=2x-1+=，x∈[0，+∞），

设h（x）=2x2+x+k-1，

1）当△=1-8（k-1）≤0，即k≥时，h（x）≥0，

∴g‘（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）；

2）当△=1-8（k-1）＞0，即k＜时，设x1，x2是方程2x2+x+k-1=0的两根且x1＜x2

由x1+x2=-，可知x1＜0，

分析题意可知当x2≤0时对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）；

∴k-1≥0，k≥1，∴1≤k＜，

综上分析，实数k的最小值为1．

（3）证明：令k=1，有-x2+x≤ln（x+1），

即x≤x2+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立，

令x=，得≤+ln（+1）=+ln（n+1）-lnn，

∴1+++…+≤1+++…++（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+（ln（n+1）-lnn）

=1+++…++ln（n+1）＜1++++…++ln（n+1）

=1+1-+-++…+-+ln（n+1）=2-+ln（n+1）

＜ln（n+1）+2．

即原不等式得证．

解：（1）由已知得，f′（x）=ax2+2bx+1，

由函数f（x）存在极值知，

ax2+2bx+1=0有两个不相等的实数根，

故△=4b2-4a＞0，

故b2＞a；

即满足b2＞a时，函数f（x）存在极值；

（2）由题意，f（x）=x3+bx2+x+3，f′（x）=x2+2bx+1；

要使函数f（x）在区间（0，1]上是增加的，

需使f′（x）=x2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立；

故b≥--在（0，1]上恒成立，

设g（x）=--，则g′（x）=-≥0，

故g（x）=--在（0，1]上是增函数，

故当x=1时，gmax（x）=g（1）=-1；

故b≥-1；

即实数b的取值范围为[-1，+∞）．