- 函数的极值与导数的关系
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函数f（x）=x2+ax+b 的图象与直线y=x-2 相切于点（1，-1）处，则f （x）的极小值等于（ ）
A-2
B
C
D1
正确答案
解析
解：∵f（x）=x2+ax+b，∴f′（x）=2x+a，
∵函数f（x）=x2+ax+b 的图象与线y=x-2 相切于点（1，-1）处，
∴函数f（x）=x2+ax+b在x=1处的切线斜率为1，
∴2+a=1，⇒a=-1，
又∵切点坐标为（1，-1）代入f（x）=x2-x+b得
-1=12-1+b
∴b=-1
∴f（x）=x2-x-1，
故当x=
故选C．
设x1，x2分别是函数f（x）=-2x3+3（1-2a）x2+12ax-1的极小值点和极大值点．已知
正确答案
解：求导函数可得：f′（x）=-6x2+6（1-2a）x+12a，
∵x1，x2分别是函数的极小值点和极大值点
∴x1+x2=1-2a，x1x2=-2a，所以x1+x2-x1x2=-1-2a+2a=1，即（x1-1）+x2（1-x1）=0，
所以（x1-1）（1-x2）=0
∵
∴x1=1，
∴x2=1，a=
∴f（x）=-2x3+6x-1，f′（x）=-6（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0可得-1＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＜-1或x＞1，
∴函数在（-1，1）上单调增，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调减
∴当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=2-6-1=-5；当x=1时，函数取得极大值f（1）=-2+6-1=3．
解析
解：求导函数可得：f′（x）=-6x2+6（1-2a）x+12a，
∵x1，x2分别是函数的极小值点和极大值点
∴x1+x2=1-2a，x1x2=-2a，所以x1+x2-x1x2=-1-2a+2a=1，即（x1-1）+x2（1-x1）=0，
所以（x1-1）（1-x2）=0
∵
∴x1=1，
∴x2=1，a=
∴f（x）=-2x3+6x-1，f′（x）=-6（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0可得-1＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＜-1或x＞1，
∴函数在（-1，1）上单调增，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调减
∴当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=2-6-1=-5；当x=1时，函数取得极大值f（1）=-2+6-1=3．
（2015秋•宜春校级期末）已知函数f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，则
正确答案
-
解析
解：∵f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
又f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a2-7a=10，
∴a2+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），
当
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
则
故答案为：-
已知函数f（x）=
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．
正确答案
解：
（I）解：当a=1时，
又
所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为
（II）解：
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）当a＞0时，令f‘（x）=0，得到
所以f（x）在区间，（a，+∞）内为减函数，在区间内为增函数．
函数f（x）在处取得极小值，且．
函数f（x）在x2=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．
（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得到．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在区间（-∞，a）内为增函数，在区间内为减函数．
函数f（x）在x1=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．
函数f（x）在处取得极小值，且．
解析
解：
（I）解：当a=1时，
又
所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为
（II）解：
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）当a＞0时，令f‘（x）=0，得到
所以f（x）在区间，（a，+∞）内为减函数，在区间内为增函数．
函数f（x）在处取得极小值，且．
函数f（x）在x2=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．
（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得到．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在区间（-∞，a）内为增函数，在区间内为减函数．
函数f（x）在x1=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．
函数f（x）在处取得极小值，且．
函数f（x）=ax3+2x2+bx在x=1处取得极大值0，则a，b的值为______．
正确答案
-1，-1
解析
解：∵f（1）=a+2+b=0①，
且f′（x）=3ax2+4x+b，
∴f′（1）=3a+4+b=0②，
由①②得：a=-1，b=-1．
故答案为：-1，-1．
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