热门试卷

解：（Ⅰ）由题意可得f‘（x）=（x+2）（x-1）ex，

令f'（x）=0得x=-2或x=1，…（2分）x，f（x），f'（x）的关系列表如下：

由表可得，f（x）在x=-2取到极大值f（-2）=，f（x）在x=-1取到极小值f（1）=-e．…（8分）

（Ⅱ）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0．…（9分）

因为函数f（x）没有零点，所以△=m2-4m＜0，…（11分）

所以0＜m＜4．…（12分）

解：（1）f‘（x）=（-x3+3x）'=-3x2+3=0…（1分）

可得x=-1或x=1．…（3分）

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况为

∴x=-1时，函数取得极小值-2，x=1时，函数取得极大值2，

∴A（1，2），B（-1，-2）…（7分）

（2）由（1）得A（1，2），B（-1，-2），

∴|OA|=|OB|=，

∴|OA||OB|=5．…（13分）

解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称，

∴f（-x）+f（x）=0恒成立，

即2bx2+2d=0，∴b=d=0

又f（x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，

即y-6=8（x-3），…（2分）

∴f‘（3）=8，且f（3）=6．而f（x）=ax3+cx，

∴f'（x）=3ax2+c…（3分）

∴．

故所求的解析式为．…（6分）

（2）解

又f'（x）=x2-1，由f'（x）=0得x=±1，

且当时，f'（x）＞0；…（8分）

当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．

∴递增；在[-1，1]上递减…（9分）

∴上的极大值和极小值分别为．

而．

故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为．…（12分）

解：（1）当b=1时，f（x）=（x2+x+1）ex，

∴f′（x）=（x2+3x+2）•ex，

由f′（x）＞0，得x＞-1或x＜-2．

故函数f（x）的增区间为（-∞，-2），（-1，+∞）；

（2）∵f（x）=（x2+bx+b）ex，

∴f′（x）=[x2+（2+b）x+2b]ex=（x+2）（x+b）ex．

由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．

当-2≤-2b，即0＜b≤1时，函数f（x）在（-2b，-b）上单调递减，在（-b，b）上单调递增．

∴M=max{f（-2b），f（b）}，

∵f（-2b）=（2b2+b）•e-2b，

f（b）=（2b2+b）•eb．

∴M=f（b）．

当-2b＜-2＜-b，即1＜b＜2时，函数f（x）在（-2b，-2）上单调递增，在（-2，-b）上单调递减，在（-b，b）上单调递增．

∴M=max{f（-2），f（b）}，

∵f（-2）=（4-b）•e-2，

且（2b2+b）-（4-b）==0，

∴M=f（b）．

当-2=-b，即b=2时，f′（x）≥0，函数f（x）在（-2b，b）上单调递增，

∴M=f（b）．

综上所述：M=f（b）=（2b2+b）eb．