热门试卷

解：（1）因为f（x）=-x3+2x2-x，

所以 f′（x）=-3x2+4x-1，且f（2）=-2，

所以 f′（2）=-5，

所以 曲线f（x）在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），

整理得：5x+y-8=0．

（2）由（1）知f′（x）=-3x2+4x-1=-（3x-1）（x-1），

令f′（x）=0，解得：x=或x=1，

所以f′（x），f（x）变化情况如下表：

因此，函数f（x）的极大值为0，极小值为-．

解：（Ⅰ）由f（x）=ex（x2+ax-a）可得，

f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]，．…（2分）

当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e．…（4分）

所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=4e（x-1），

即y=4ex-3e．…（5分）

（Ⅱ） 令f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]=0，

解得x=-（a+2）或x=0．…（6分）

当-（a+2）≤0，即a≥-2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是[0，+∞）上的增函数．

所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根．…（8分）

当-（a+2）＞0，即a＜-2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表

由上表可知函数f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（-（a+2））=．…（10分）

因为 函数f（x）是（0，-（a+2））上的减函数，是（-（a+2），+∞）上的增函数，

且当x≥-a时，有f（x）≥e-a（-a）＞-a．…（11分）

所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是（，-a]．…（13分）

解：（1）f′（x）=ex-1-，

∵函数f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=1-a=0，得a=1，

∴g（x）=，g′（x）=，∵g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）=0，

∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴g（x）的最小值为g（1）=2+b，∵函数g（x）=f（x）+b在（0，+∞）上有零点，∴2+b≤0，b≤-2

∴b的最大值为-2；

（2）：∵f（x）在（1，2）上为单调函数

∴①当f（x）为单调增函数时，则f′（x）=ex-1-≥0，在（1，2）上恒成立，

a≤x2ex-1，令h（x）=x2ex-1，h（x）在（1，2）上单调递增，∴a≤h（x）min=h（1）=1，∴a≤1；

②当f（x）为单调减函数时，则f′（x）=ex-1-≤0，在（1，2）上恒成立，

a≥x2ex-1，令h（x）=x2ex-1，h（x）在（1，2）上单调递增，∴a≥h（x）max=h（2）=4e，∴a≥4e；

综上得a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）．