热门试卷

解：（1）f′（x）=3ax2-4x-4a，

由于x=2是函数y=f（x）的极值点，则f′（2）=12a-8-4a=0，解得a=1，

则a的值为1；

（2）由（1）知，f（x）=x3-2x2-4x；

可得f′（x）=3x2-4x-4=（3x+2）（x-2）

令f′（x）=0，得x=-或x=2，

得到当x＜-或x＞2时，f（x）为增函数；当-＜x＜2时，f（x）为减函数，

因此，当x=-时，f（x）有极大值，

当x=2时，f（x）有极小值-8；

若关于x的方程f（x）=a有三个不同实根，则-8＜a＜，

故a的取值范围为-8＜a＜．

解：（Ⅰ）（x＞0）．

当时，，令f′（x）=0，得x1=2，x2=．

f（x），f′（x）的变化情况如下表：

所以，当x=2时，函数f（x）取到极小值，且极小值为f（2）=ln2-．（4分）

（Ⅱ）令f′（x）=0，得mx2-（m+2）x+1=0．  （*）

因为△=（m+2）2-4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a＜b）．

因为m≥1，所以

所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．

故函数f（x）存在单调递减区间．（8分）

（Ⅲ）因为f′（1）=-1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=-x+2．

若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x-1）2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根．

显然x=1是该方程的一个根．

令g（x）=m（x-1）2-x+1+lnx，则．

当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．

当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．

所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→-∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．

综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点．（14分）

解：（I）（1分）

设g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）

函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，

∴f‘（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，

∴函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减．（4分）

（II）不等式等价于不等式

由知，，（5分）

设，（6分）

（7分）

设h（x）=（1+x）ln2（1+x）-x2（x∈[0，1]）（8分）

h'（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，

由（I）知x∈（0，1）时，h'（x）＜h'（0）=0

∴函数h（x）在x∈（0，1）上单调递减，

h（x）＜h（0）=0

∴G'（x）＜0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递减．

∴（11分）

故函数G（x）在（{0，1}]上的最小值为G（1）=．

即，

∴a的最大值为．（12分）