热门试卷

解：（Ⅰ）函数h（x）=的导数为h′（x）=，

在A点处的切线斜率为k=，切点为（4，2），

即有在A点处的切线方程为y-2=（x-4），

即为x-4y+4=0；

（Ⅱ）F（x）=18f（x）-x2[h（x）]2=-x3+12x+9（x≥0），

即有F′（x）=-3x2+12，

令F′（x）=0，得x=2（x=-2舍去）．

当x∈（0，2）时．F′（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0，

故当x∈[0，2）时，F（x）为增函数；当x∈[2，+∞）时，F（x）为减函数．

x=2为F（x）的极大值点，且F（2）=-8+24+9=25．

（Ⅲ）原方程变形为lg（x-1）+2lg=2lg，

⇔⇔，

①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3-；

②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；

③当a=5时，原方程有一解x=3；

④当a≤1或a＞5时，原方程无解．

解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=-2x+a≤0

在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x-在[1，+∞）上恒成立，

令h（x）=2x-，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，

所以a≤；

（2）若对任意x1∈[-1，+∞），总存在x2∈[-1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（-1，+∞）上的值域是函数g（x）在[-1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为

a=-1，所以f（x）=ln（x+1）-x2-x+2，定义域（-1，+∞）

f′（x）=-2x-1=

令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．

当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（-∞，2）

对于函数g（x）=-x2+2bx+b=-（x-b）2+b+b2

①当b≤-1时，g（x）的最大值为g（-1）=-1-b⇒g（x）值域为（-∞，-1-b]

由-1-b≥2⇒b≤3；

②当b＞-1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（-∞，b2+b]

由b2+b≥2⇒b≥1或b≤-2（舍去），

综上所述，b的取值范围是（-∞，-3]∪[1．+∞）．