- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=ex-ax-a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（I）当a=e时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+
正确答案
解：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=ex-ex-e，f′（x）=ex-e，
当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-e，函数f（x）无极大值；
（Ⅱ）由f（x）=ex-ax-a，f′（x）=ex-a
①当a=0时，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件，
②当0＜a≤1时，由f′（x）=0，得x=lna，
则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在x=lna处取得极小值即为最小值，
f（x）min=f（lna）=elna-alna-a=-alna
∵0＜a≤1，∴lna≤0，∴-alna≥0，∴f（x）min≥0，
∴综上得，当0≤a≤1时，f（x）≥0；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）=ex-x-1≥0恒成立，
即ex≥x+1，∴ln（x+1）≤x，令x=
∴
∴（1+
解析
解：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=ex-ex-e，f′（x）=ex-e，
当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-e，函数f（x）无极大值；
（Ⅱ）由f（x）=ex-ax-a，f′（x）=ex-a
①当a=0时，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件，
②当0＜a≤1时，由f′（x）=0，得x=lna，
则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在x=lna处取得极小值即为最小值，
f（x）min=f（lna）=elna-alna-a=-alna
∵0＜a≤1，∴lna≤0，∴-alna≥0，∴f（x）min≥0，
∴综上得，当0≤a≤1时，f（x）≥0；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）=ex-x-1≥0恒成立，
即ex≥x+1，∴ln（x+1）≤x，令x=
∴
∴（1+
设函数
（1）当方程f′（x）-x+1=0的两个根分别为是
（2）当
正确答案
解：由题意可知，f（0）=1所以c=1
（1）由
因为f′（x）-x+1=0，即3ax2-bx-x+1=0的两个根分别为
所以
解得
故
（Ⅱ）
所以，
①若b＞0，则当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增；
当
当
因此，f（x）的极大值为f（0）=c=1，f（x）的极小值为
②若b＜0，则当
当
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增
因此，f（x）的极大值为
综上所述，当b＞0时，f（x）的极大值为1，极小值为
当b＜0时，f（x）的极大值为
解析
解：由题意可知，f（0）=1所以c=1
（1）由
因为f′（x）-x+1=0，即3ax2-bx-x+1=0的两个根分别为
所以
解得
故
（Ⅱ）
所以，
①若b＞0，则当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增；
当
当
因此，f（x）的极大值为f（0）=c=1，f（x）的极小值为
②若b＜0，则当
当
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增
因此，f（x）的极大值为
综上所述，当b＞0时，f（x）的极大值为1，极小值为
当b＜0时，f（x）的极大值为
函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（ ）
A
B0
C
D-1
正确答案
解析
∴f′（x）=
令f′（1）=a+1=0得，
a=-1；
经检验，函数f（x）=-lnx+x在x=1处取到极小值，
故选D．
设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（1）若f（0）=0时，求函数f（x）的解析式．
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）≥c2成立，求c的取值范围．
正确答案
解：（1）f′（x）=6x2+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0，
所以
解得a=-3，b=4．
又因为f（0）=0，所以c=0，
所以f（x）=2x3-9x2+12x；
（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c，
f′（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3）时，f′（x）＞0．
所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c
则当x∈[0，3]时，f（x）的最小值为f（0）=8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）≥c2恒成立，所以8c≥c2，解得0≤c≤8，
因此c的取值范围为[0，8]．
解析
解：（1）f′（x）=6x2+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0，
所以
解得a=-3，b=4．
又因为f（0）=0，所以c=0，
所以f（x）=2x3-9x2+12x；
（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c，
f′（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3）时，f′（x）＞0．
所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c
则当x∈[0，3]时，f（x）的最小值为f（0）=8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）≥c2恒成立，所以8c≥c2，解得0≤c≤8，
因此c的取值范围为[0，8]．
已知函数f（x）=ax3-3ax，g（x）=bx2+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）设函数
正确答案
解：（1）先求导函数
由条件，g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
∴
∴
∴
（2）由
令F′（x）＞0，得（x-1）（3ax+1）＞0（*）
①若a≥0，则x＞1，即F（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
②若a＜0，（*）式等价于（x-1）（-3ax-1）＜0，
当
当
当
（3）
当x＞0时，
令g′（x）=0，得x=1，且当x∈（0，1），g′（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值，即最小值为
当x≤0时，G（x）=f（x）=ax3-3ax，f′（x）=3ax2-3a=3a（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=-1，
①若a=0，方程G（x）=a2不可能有四个解；-----------------------------（12分）
②若a＜0时，当x∈（-∞，-1），f′（x）＜0，当x∈（-1，0），f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0]上有极小值，即最小值为f（-1）=2a，
又f（0）=0，∴G（x）的图象如图1所示，
从图象可以看出方程G（x）=a2不可能有四个解．----------（14分）
③若a＞0时，当x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，当x∈（-1，0），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0]上有极大值，即最大值为f（-1）=2a，
又f（0）=0，
∴G（x）的图象如图2所示，
从图象可以看出方程G（x）=a2若有四个解，
必须
∴
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是
解析
解：（1）先求导函数
由条件，g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
∴
∴
∴
（2）由
令F′（x）＞0，得（x-1）（3ax+1）＞0（*）
①若a≥0，则x＞1，即F（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
②若a＜0，（*）式等价于（x-1）（-3ax-1）＜0，
当
当
当
（3）
当x＞0时，
令g′（x）=0，得x=1，且当x∈（0，1），g′（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值，即最小值为
当x≤0时，G（x）=f（x）=ax3-3ax，f′（x）=3ax2-3a=3a（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=-1，
①若a=0，方程G（x）=a2不可能有四个解；-----------------------------（12分）
②若a＜0时，当x∈（-∞，-1），f′（x）＜0，当x∈（-1，0），f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0]上有极小值，即最小值为f（-1）=2a，
又f（0）=0，∴G（x）的图象如图1所示，
从图象可以看出方程G（x）=a2不可能有四个解．----------（14分）
③若a＞0时，当x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，当x∈（-1，0），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0]上有极大值，即最大值为f（-1）=2a，
又f（0）=0，
∴G（x）的图象如图2所示，
从图象可以看出方程G（x）=a2若有四个解，
必须
∴
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是
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