热门试卷

解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），

∴x≠-r，即f（x）的定义域为（-∞，-r）∪（-r，+∞）．

又∵f（x）==，

∴f′（x）==，

∴当x＜-r或x＞r时，f′（x）＜0；当-r＜x＜r时，f′（x）＞0；

因此，f（x）的单调递减区间为：（-∞，-r）、（r，+∞），递增区间为：（-r，r）；

（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，

∴x=r是f（x）的极大值点，

∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．

解：①∵函数f（x）=x3-ax2-（a+1）x，∴f′（x）=x2-ax-（a+1），

当a=1时，f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1）．

令f′（x）=0，解得x=-1，2．

列表如下：

当x=-1时取得极大值，为；当x=2时取得极小值，为-．

②∵f（x）在[，+∞）上是递增函数，∴f′（x）≥0在[，+∞）上恒成立，

即x2-ax-（a+1）≥0在[，+∞）上恒成立．即a≤x-1在[，+∞）上恒成立．

∵y=x-1在[，+∞）上单调递增．∴y．

∴．

∴实数a的取值范围是．

解：（I）因为函数有三个极值点，

所以f‘（x）=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根．

设g（x）=x3+3x2-9x+c，则g'（x）=3x2+6x-9=3（x+3）（x-1），

当x＜-3时，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，-3）上为增函数；

当-3＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）在（-3，1）上为减函数；

当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上为增函数；

所以函数g（x）在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值．

当g（-3）≤0或g（1）≥0时，g（x）=0最多只有两个不同实根．

因为g（x）=0有三个不同实根，所以g（-3）＞0且g（1）＜0．

即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0，

解得c＞-27，且c＜5，故-27＜c＜5．

（II）由（I）的证明可知，当-27＜c＜5时，f（x）有三个极值点．

不妨设为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则f'（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）．

所以f（x）的单调递减区间是（-∞，x1]，[x2，x3]

若f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，

则[a，a+2]⊂（-∞，x1]，或[a，a+2]⊂[x2，x3]，

若[a，a+2]⊂（-∞，x1]，则a+2≤x1．由（I）知，x1＜-3，于是a＜-5．

若[a，a+2]⊂[x2，x3]，则a≥x2且a+2≤x3．由（I）知，-3＜x2＜1．

又f'（x）=x3+3x2-9x+c，当c=-27时，f'（x）=（x-3）（x+3）2；

当c=5时，f'（x）=（x+5）（x-1）2．

因此，当-27＜c＜5时，1＜x3＜3．所以a＞-3，且a+2≤3．

即-3＜a≤1．故a＜-5，或-3＜a＜1．反之，当a＜-5，或-3＜a≤1时，

总可找到c∈（-27，5），使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减．

综上所述，a的取值范围是（-∞，-5）∪（-3，1]．

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x-1）e-x的定义域为R，

f′（x）=e-x-（x-1）e-x=（2-x）e-x

令f′（x）=0，即（2-x）e-x=0，解得：x=2．

列表：

由表可知函数f（x）=（x-1）e-x的单调递减区间为（2，+∞），单调递增区间为（-∞，2）．

当x=2时，函数f（x）=（x-1）e-x取得极大值f（2）=e-2．

（Ⅱ）证明：g（x）=f（4-x）=（3-x）e4-x，

令F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）e-x-（3-x）e4-x，

∴F′（x）=（2-x）e-x-（2-x）e4-x=．

当x＞2时，2-x＜0，2x＞4，从而e4-e2x＜0，

∴F′（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．

∴F（x）＞F（2）=e-2-e-2=0，

故当x＞2时，f（x）＞g（x）．

（Ⅲ）证明：∵f（x）在（-∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．

∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内．

不妨设x1＜2＜x2，由（Ⅱ）可知f（x2）＞g（x2），

又g（x2）=f（4-x2），∴f（x2）＞f（4-x2）．

∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4-x2）．

∵x2＞2，4-x2＜2，x1＜2，且f（x）在区间（-∞，2）内为增函数，

∴x1＞4-x2，即x1+x2＞4．