- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数y=-x3-x2+2，则（ ）
正确答案
解析
解：y′=-3x2-2x=-x（3x+2），令y′=0，x=0或x=
令y′＞0得x＜
∴函数y在上[
∴函数y在x=
故选C．
已知函数f（x）=（ex-1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．
正确答案
解：（Ⅰ）∵
∴f′（0）=0，得lna=0，即a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（ex-1）ln（x+1），
令g（x）=（ex-1）ln（x+1）-x2（x≥0），
则
令h（x）=（x+1）g′（x）
=ex（x+1）ln（x+1）+ex-1-2x（x+1），
∴h′（x）=ex（x+1）ln（x+1）+ex[ln（x+1）+1]+ex-（4x+2）
令φ（x）=ex-x-1，则φ′（x）=ex-1，
（ⅰ）当x≤0时，ex-1≤0
（ⅱ）当x≥0时，ex-1≥0，
∴函数φ（x）在区间（-∞，0]为减函数，在区间[0，+∞）为增函数．
∴φ（x）min=φ（0）=0，∴对x∈R，φ（x）≥0，即ex≥x+1…①，
由①知et-1≥t…②，当t＞0时，由②得lnt≤t-1…③，
当x≥0时，以
当x≥0时，ex≥1由①，④得ex（x+1）ln（x+1）≥x，exln（x+1）≥x，
∴h′（x）≥x+x+2（x+1）-（4x+2）=0，
∴函数y=h（x）（x≥0）为增函数，
∴当x≥0，h（x）≥h（0）=0，即当x≥0时，（x+1）g′（x）≥0，且x+1≥1＞0，
∴g′（x）≥0，∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，
∴当x≥0时，g（x）≥g（0）=0
∴当x≥0时，g（x）≥0，
∴当x≥0时，f（x）≥x2．
解析
解：（Ⅰ）∵
∴f′（0）=0，得lna=0，即a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（ex-1）ln（x+1），
令g（x）=（ex-1）ln（x+1）-x2（x≥0），
则
令h（x）=（x+1）g′（x）
=ex（x+1）ln（x+1）+ex-1-2x（x+1），
∴h′（x）=ex（x+1）ln（x+1）+ex[ln（x+1）+1]+ex-（4x+2）
令φ（x）=ex-x-1，则φ′（x）=ex-1，
（ⅰ）当x≤0时，ex-1≤0
（ⅱ）当x≥0时，ex-1≥0，
∴函数φ（x）在区间（-∞，0]为减函数，在区间[0，+∞）为增函数．
∴φ（x）min=φ（0）=0，∴对x∈R，φ（x）≥0，即ex≥x+1…①，
由①知et-1≥t…②，当t＞0时，由②得lnt≤t-1…③，
当x≥0时，以
当x≥0时，ex≥1由①，④得ex（x+1）ln（x+1）≥x，exln（x+1）≥x，
∴h′（x）≥x+x+2（x+1）-（4x+2）=0，
∴函数y=h（x）（x≥0）为增函数，
∴当x≥0，h（x）≥h（0）=0，即当x≥0时，（x+1）g′（x）≥0，且x+1≥1＞0，
∴g′（x）≥0，∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，
∴当x≥0时，g（x）≥g（0）=0
∴当x≥0时，g（x）≥0，
∴当x≥0时，f（x）≥x2．
设a∈R，函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则以下结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对f（x）=x3+ax2+（a-3）x求导，得
f′（x）=3x2+2ax+a-3
又f′（x）是偶函数，即f′（x）=f′（-x）
代入，可得
3x2+2ax+a-3=3x2-2ax+a-3
化简得a=0
∴f′（x）=3x2-3
令f′（x）=0，即3x2-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，1）
∴函数在x=1时取得极小值为：-2，极大值为2
故选B．
已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-
（1）设h（x）=f（x）+g（x），若h（x）在定义域内存在极值，求a的取值范围；
（2）设f′（x）是f（x）的导函数，若0＜x1＜x2，a≠0，f′（t）=
正确答案
解：（1）h（x）=
∵h（x）在定义域内存在极值；
令x2-ax+1=0，则△=a2-4＞0，即a＞2，或a＜-2；
设H（x）=x2-ax+1，H（0）=1＞0；
∴方程x2-ax+1=0的小根
∴a的取值范围为（2，+∞）；
（2）f′（x）=
∴根据条件
∴
∵a≠0；
∴
∴
设
∴
∵lnμ＞0，x1＞0；
所以只需判断2（μ-1）-（1+μ）lnμ的符号；
设φ（μ）=2（μ-1）-（1+μ）lnμ，μ＞1；
φ′（μ）=1-
∵μ＞1；
∴φ″（μ）＜0；
即φ′（μ）为减函数，∴φ′（μ）＜φ′（1）=0；
∴φ（μ）为减函数，∴φ（μ）＜φ（1）=0；
∴
解析
解：（1）h（x）=
∵h（x）在定义域内存在极值；
令x2-ax+1=0，则△=a2-4＞0，即a＞2，或a＜-2；
设H（x）=x2-ax+1，H（0）=1＞0；
∴方程x2-ax+1=0的小根
∴a的取值范围为（2，+∞）；
（2）f′（x）=
∴根据条件
∴
∵a≠0；
∴
∴
设
∴
∵lnμ＞0，x1＞0；
所以只需判断2（μ-1）-（1+μ）lnμ的符号；
设φ（μ）=2（μ-1）-（1+μ）lnμ，μ＞1；
φ′（μ）=1-
∵μ＞1；
∴φ″（μ）＜0；
即φ′（μ）为减函数，∴φ′（μ）＜φ′（1）=0；
∴φ（μ）为减函数，∴φ（μ）＜φ（1）=0；
∴
已知函数f（x）=
（1）求实常数m的值．
（2）求函数f（x）在区间（-∞，+∞）上的极小值．
正确答案
解：（1）∵f（x）=
∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=-2，或x=2，
列表讨论，得：
∴当x=-2时，f（x）取极大值，
∵函数f（x）=
∴
解得m=4．
（2）由m=4，得f（x）=
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=-
解析
解：（1）∵f（x）=
∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=-2，或x=2，
列表讨论，得：
∴当x=-2时，f（x）取极大值，
∵函数f（x）=
∴
解得m=4．
（2）由m=4，得f（x）=
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=-
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