热门试卷

解：（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=-2ax3-3ax2+12ax-2

∴h‘（x）=-6ax2-6ax+12a=-6a（x+2）（x-1）

令h'（x）=0，∴x=-2或x=1

若a＞0，当x＞-2时，h'（x）＞0；当x＜-2时，h'（x）＜0

∴x=-2是函数h（x）的极小值点，极小值为h（-2）=-20a-2；

当x＞1时，h'（x）＜0；当x＜1时，h'（x）＞0

∴x=1是函数h（x）的极大值点，极大值为h（1）=7a-2

若a＜0，易知，x=-2是函数h（x）的极大值点，极大值为h（-2）=-20a-2；x=1是函数h（x）的极小值点，

极小值为h（1）=7a-2

（2）若在（0，+∞）上至少存在一点x0使得f（x0）＞g（x0）成立，

则f（x）＞g（x）在（0，+∞）上至少存在一解，即h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解

由（1）知，当a＜0时，函数h（x）在区间（0，+∞）上递增，且极小值为h（1）=7a-2＜0

∴此时h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解；

当a＞0时，函数h（x）在区间（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

∴要满足条件应有函数h（x）的极大值h（1）=7a-2＞0，即

综上，实数a的取值范围为a＜0或．

解：由于函数（a＞0）的导函数为f‘（x），

则==

（1）f'（0）=，f'（1）=

由于a＞0，a2＜a2+1，则，故f'（0）＞f'（1）

（2）令f′（x）=0，则x=-a或x=a

当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以，当x=a时，函数有极大值，且f（a）=，

当x=-a时，函数有极小值，且f（-a）=-．