函数的极值与导数的关系
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题型：填空题

填空题

函数f（x）=x3-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的减区间是______．

正确答案

（-1，1）

解析

解：：令f′（x）=3x2-3a=0，得x=±，

令f′（x）＞0得x＞或x＜-；令f′（x）＜0得-＜x＜．

即x=-取极大，x=，取极小．

∵函数f（x）=x3-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，

∴f（）=2，f（-）=6，

即a-3a+b=2且-a+3a+b=6，

得a=1，b=4，

则f′（x）=3x2-3，由f′（x）＜0得-1＜x＜1．

则减区间为（-1，1）．

故答案为：（-1，1）．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（x2+ax-2a2+3a）ex（x∈R），若a∈R，求函数f（x）的单调区间与极值．

正确答案

解：f′（x）=[x2+（a+2）x-2a2+4a]ex

令f′（x）=0 解得x=-2a 或x=a-2以下分三种情况讨论．

（1）若a＞，则-2a＜a-2．当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数在（-a，a-2）内是减函数

函数f（x）在x=2处取得极大值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a

函数f（x）在x=a-2处取得极小值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）ea-2

（2）若a＜则-2a＞a-2

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

函数f（x）在x=2处取得极小值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a

函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）ea-2

（3）若a=则-2a=a-2函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，此时函数无极值

解析

解：f′（x）=[x2+（a+2）x-2a2+4a]ex

令f′（x）=0 解得x=-2a 或x=a-2以下分三种情况讨论．

（1）若a＞，则-2a＜a-2．当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数在（-a，a-2）内是减函数

函数f（x）在x=2处取得极大值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a

函数f（x）在x=a-2处取得极小值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）ea-2

（2）若a＜则-2a＞a-2

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

函数f（x）在x=2处取得极小值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a

函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）ea-2

（3）若a=则-2a=a-2函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，此时函数无极值

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx．

（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值-1，求实数a的值；

（Ⅱ）若函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）x＞0，F′（x）=a-=（x＞0），

当a≤0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）递减，无极值；

当a＞0时，由F′（x）＞0，可得x＞，由F′（x）＜0，可得0＜x＜，

x=取得极小值．

由F（x）有极值-1，即有1-ln=-1，

解得a=；

（Ⅱ）G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，

G′（x）=-acos（1-x）+，G（x）在（0，1）上递增，

即有-acos（1-x）+≥0在（0，1）上恒成立，

即a≤在（0，1）上恒成立．

令h（x）=xcos（1-x），0＜x＜1，

h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，

h（x）在（0，1）递增，0＜xcos（1-x）＜1，

即有＞1，

则有a≤1．

解析

解：（Ⅰ）x＞0，F′（x）=a-=（x＞0），

当a≤0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）递减，无极值；

当a＞0时，由F′（x）＞0，可得x＞，由F′（x）＜0，可得0＜x＜，

x=取得极小值．

由F（x）有极值-1，即有1-ln=-1，

解得a=；

（Ⅱ）G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，

G′（x）=-acos（1-x）+，G（x）在（0，1）上递增，

即有-acos（1-x）+≥0在（0，1）上恒成立，

即a≤在（0，1）上恒成立．

令h（x）=xcos（1-x），0＜x＜1，

h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，

h（x）在（0，1）递增，0＜xcos（1-x）＜1，

即有＞1，

则有a≤1．

题型：填空题

填空题

若不等式（2a-b-c）（a-c）（1+cosθ）≥（a-b）（b-c）[t（cosθ+1）+sinθ]，对任意a＞b＞c及θ∈[0，]恒成立，则实数t的取值范围为______．

正确答案

t≤2+2

解析

解：∵a＞b＞c，

∴2a-b-c＞0，a-c＞0，a-b＞0，b-c＞0；

则不等式（2a-b-c）（a-c）（1+cosθ）≥（a-b）（b-c）[t（cosθ+1）+sinθ]可化为

≥；

∵=

=2++3

≥3+2；

（当且仅当2=，即（b-c）2=2（a-b）2时，等号成立）；

故不等式可化为

3+2≥=t+；

即t≤3+2-；

∵θ∈[0，]，

∴0≤≤1；

故2+2≤3+2-≤3+2；

故t≤2+2；

故答案为：t≤2+2．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+2lnx（a∈R）

（1）若曲线f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求函数f（x）的单调区间

（2）若函数f（x）既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

正确答案

解：函数f（x）=ax2-（2a+1）x+2lnx的定义域为（0，+∞），

（1）f′（x）=ax-（2a+1）+，

∵曲线f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，

∴f′（1）=f′（3），

即a-（2a+1）+2=3a-（2a+1）+，

解得，a=；

故f′（x）=x-+=；

故f（x）在（0，）上是增函数，在（，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．

（2）∵f′（x）=ax-（2a+1）+

=，

∵函数f（x）既有极大值又有极小值，

∴，

故a的取值范围为（0，）∪（，+∞）．

解析

解：函数f（x）=ax2-（2a+1）x+2lnx的定义域为（0，+∞），

（1）f′（x）=ax-（2a+1）+，

∵曲线f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，

∴f′（1）=f′（3），

即a-（2a+1）+2=3a-（2a+1）+，

解得，a=；

故f′（x）=x-+=；

故f（x）在（0，）上是增函数，在（，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．

（2）∵f′（x）=ax-（2a+1）+

=，

∵函数f（x）既有极大值又有极小值，

∴，

故a的取值范围为（0，）∪（，+∞）．

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