热门试卷

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R.，

即 f‘（x）=-e-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．

令f'（x）=0，解得：x=-1或．

当k=-2时，f'（x）=2e2x（x+1）2≥0，故f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）．…（3分）

当-2＜k＜0时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

所以，函数f（x）的单调递增区间是和（-1，+∞），单调递减区间是．…（5分）

当k＜-2时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和，单调递减区间是．…（7分）

（Ⅱ）当k=-1时，f（x）的极大值等于3e-2．理由如下：

当k=-2时，f（x）无极大值．

当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为，…（8分）

令，即，解得 k=-1或（舍）．…（9分）

当k＜-2时，f（x）的极大值为．…（10分）

因为 ek＜e-2，，所以 ．

因为 ，所以 f（x）的极大值不可能等于3e-2．

综上所述，当k=-1时，f（x）的极大值等于3e-2．…（12分）

解：（Ⅰ）f′（x）=，

由于函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈N+）上存在极值，

令g（x）=1+-lnx=0，则方程g（x）=0在[t，+∞）（t∈N+）上有解．

g′（x）=--＜0，

∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，

又g（3）=-ln3＞0，g（4）=-ln4＜0；

∴函数g（x）的零点x=x0∈（3，4）．

∵方程g（x）=0在[t，+∞）（t∈N+）上有解，

∴t≤3，

∴t的最大值为3．

（Ⅱ）an=f（n）=，

由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减．

又x0∈（3，4），

∴a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞…；

∵a1=0，故没有项与之相等；

a2===a8；

a3=＜=a4；

a3=＞=a5；

故数列{an}中存在唯一相等的两项，即a2=a8=；

（2）证明：通过构造函数易证，

1-＜lnx＜x-1，（x＞0）；

1-＜ln＜-1（x＞0，y＞0），

＜ln2-ln1＜，…＜lnn-ln（n-1）＜；

再叠加得++…+＜lnn＜1++…+．

即＜bn＜．

解：（1）∵f′（x）=3x2+2bx-a，函数f（x）=x3+bx2-ax在x=1处有极小值-1，

∴f（1）=-1，f′（1）=0

∴1+b-a=-1，3+2b-a=0

解得a=1，b=-1

∴f（x）=x3-x2-x

（2）∵f′（x）=3x2-2x-1

∴由f′（x）=3x2-2x-1＞0得x∈（-∞，-）∪（1，+∞）

由f′（x）=3x2-2x-1＜0得x∈（-，1）

∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-），（1，+∞），减区间为：（-，1）．