热门试卷

解：（Ⅰ）f‘（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．

因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，

所以a=1．经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．

即a=1．（6分）

（Ⅱ）由题设，g′（x）=ex（ax3-3x2+3ax2-6x），又ex＞0，

所以，∀x∈（0，2]，ax3-3x2+3ax2-6x≤0，

这等价于，不等式对x∈（0，2]恒成立．

令（x∈（0，2]），

则，

所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，

所以h（x）的最小值为．

所以．即实数a的取值范围为．（13分）

解：（I）f′（x）=3ax2+2bx+c，由于f（x）在x=1处有极大值2，则，即，则c=a+4，b=-2-2a，从而．

由于f（x）在x=1处有极大值，且a＞0，则，即0＜a＜2．

（1）当，即时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1）上单调递增；

x∈（1，）时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，）上单调递减；

x∈（）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[，2]上单调递增．

（2）当，即时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上单调递增；

x∈（1，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，2]上单调递减．

（II）由于f（x）为[-2，2]上的奇函数，从而b=0，从而f（x）=ax3+cx，

要使得任意的x∈[-2，2]恒有|f（x）|≤2，则只需任意的x∈[0，2]时|f（x）|≤2恒成立．

显然要使得c取最大值，则c＞0．

（1）当a≥0时，则当x∈[0，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[0，2]上单调递增．由于任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，则只需f（2）=8a+2c≤2，从而c≤1-4a≤1，即c的最大可能值为1．

（2）当a＜0时，则f′（x）=3ax2+c，令3ax2+c=0，x=±．

i）当时，当x∈[0，2]时，恒有f′（x）≥0，故f（x）在[0，2]上单调递增．要使得任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，则只需f（2）=8a+2c≤2，从而c≤1-4a．

考虑到，即，从而，故，即c的最大可能值为．

ii）当时，则当时，有f′（x）≥0；当时，有f‘（x）≤0，从而f（x）在上单调递增，在上单调递减，故要使得任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，则只需，且f（2）=8a+2c≥-2

即c3≤-27a，且，故，即（c-3）（4c2+12c+9）=（c-3）（2c+3）2≤0

故c≤3，即c的最大可能值为3．

由上述可知，c的最大可能值为3．下面我们再证明c=3是可取的，令f（x）=-x3+3x，x∈[-2，2]，则f′（x）=-3x2+3=-3（x-1）（x+1），则当f′（x）≥0时有-1≤x≤1，故f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，故fmax=max{f（-2），f（1）}=max{2，2}=2，fmin=min{f（-1），f（2）}=min{-2，-2}=-2

从而任意的x∈[-2，2]恒有|f（x）|≤2成立．

综合上述，实数c的最大值为3．