函数的极值与导数的关系
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题型：简答题

简答题

已知函数，g（x）=lnx．（注：）

（1）a=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）已知f（x）在[e，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；

（3）已知m，n，ξ满足n＞ξ＞m＞0，且，试比较ξ与的大小．

正确答案

解：（1）a=0，f（x）=lnx+，f‘（x）=，f'（x）=0，x=2．

∵x＞0，∴f（x）的单调增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）．且x=2时f（x）取得极小值f（2）=ln2+1

（2）∵∴，∵f（x）在[e，+∞）上单调∴或∴或∵当x≥e时，

∴…8分

（2）∵∴

设，则

∴h（x）＜h（1）=0，∴当x＞1时，

令，得∴⇒∴即…14分．

解析

解：（1）a=0，f（x）=lnx+，f‘（x）=，f'（x）=0，x=2．

∵x＞0，∴f（x）的单调增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）．且x=2时f（x）取得极小值f（2）=ln2+1

（2）∵∴，∵f（x）在[e，+∞）上单调∴或∴或∵当x≥e时，

∴…8分

（2）∵∴

设，则

∴h（x）＜h（1）=0，∴当x＞1时，

令，得∴⇒∴即…14分．

题型：填空题

填空题

（2015秋•九江期末）（普通中学做）若函数f（x）=|lnx|-ax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为______．

正确答案

（0，）

解析

解：法1：函数的定义域为（0，+∞），

由f（x）=|lnx|-ax=0得|lnx|=ax，

即a==，

设g（x）==，

则当x≥1时，g（x）=，g′（x）==，由g′（x）＞0得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，此时函数单调递增，

由g′（x）＜0得1-lnx＜0，解得x＞e，此时函数单调递减，即当x=e时，函数g（x）取得极大值g（e）==．

当0＜x＜1时，g′（x）=-=-=＜0，此时函数单调递减，

作出函数g（x）的图象如图：

要使函数f（x）=|lnx|-ax有且仅有三个零点，

则等价为a=g（x）有且仅有三个不同的交点，

由图象知0＜a＜．

法2：

作出函数f（x）的图象如图：

若a≤0时，方程f（x）=ax不可能有三个不相等的实数根，

则必有a＞0，

当直线y=ax与y=lnx在x＞1时相切时，

设切点坐标为（x0，y0），

则f′（x）=，即f′（x0）=，

则切线方程为y-y0=（x-x0），

即y=•x+y0-1=•x+lnx0-1，

∵切线方程为y=ax，

∴a=且lnx0-1=0，则x0=e，

则a=，

要使方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，

则0＜a＜，

故答案为：（0，）

题型：简答题

简答题

已知x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．

（Ⅰ）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2，求实数b的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）．

∵x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，

∴f′（-1）=0，f′（2）=0，

即3a-2b-a2=0，12a+4b-a2=0，解得a=6，b=-9．

∴f（x）=6x3-9x2-36x；

（Ⅱ）∵x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点，

∴，

∴x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0（a＞0）的两根，

则△=4b2+12a3＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，

而，x1x2=-，又a＞0，∴x1x2＜0，

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|==，

由，得，

∴b2=3a2（6-a）．

∵b2≥0，∴3a2（6-a）≥0，即0＜a≤6．

令h（a）=3a2（6-a），则h′（a）=-9a2+36a．

当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）上是增函数；

当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）上是减函数．

∴当a=4时，h（a）有极大值为96，

即h（a）在（0，6]上的最大值是96，

∴b的最大值是4．

解析

解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）．

∵x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，

∴f′（-1）=0，f′（2）=0，

即3a-2b-a2=0，12a+4b-a2=0，解得a=6，b=-9．

∴f（x）=6x3-9x2-36x；

（Ⅱ）∵x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点，

∴，

∴x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0（a＞0）的两根，

则△=4b2+12a3＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，

而，x1x2=-，又a＞0，∴x1x2＜0，

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|==，

由，得，

∴b2=3a2（6-a）．

∵b2≥0，∴3a2（6-a）≥0，即0＜a≤6．

令h（a）=3a2（6-a），则h′（a）=-9a2+36a．

当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）上是增函数；

当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）上是减函数．

∴当a=4时，h（a）有极大值为96，

即h（a）在（0，6]上的最大值是96，

∴b的最大值是4．

题型：单选题

单选题

设函数f（x）=sinx+cosx，若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极值之和为（　　）

B-

Dn（n∈N，且n＞1）

正确答案

解析

解：∵函数f（x）=sinx-cosx，

∴f′（x）=（sinx-cosx）′=cosx-sinx，

∵x∈（2kπ+，2kπ+）时，f′（x）＜0，x∈（2kπ-，2kπ+）时，f′（x）＞0，

∴x∈（2kπ-，2kπ+）时原函数递增，x∈（2kπ+，2kπ+）时，原函数递减，

故当x=kπ+时，f（x）取极值，

其极值为f（kπ+）=sin（kπ+）-cos（kπ+）=0

又0≤x≤2012π，

∴函数f（x）的各极值之和S=0+0+0+…+0=0

故答案为 C．

题型：填空题

填空题

函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]有极值，则 a的取值范围是______．

正确答案

{a|a＜-1或a＞2}

解析

解：∵f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]，

∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），

由题意知△=36a2-36（a+2）＞0，

解得a＜-1或a＞2．

故答案为：{a|a＜-1或a＞2}．

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