热门试卷

解：（Ⅰ）∵y=g（x）=f2n-1（x）•fn（1-x）=（1-x）n•x2n-1，

则y′=-n（1-x）n-1•x2n-1+（2n-1）x2n-2•（1-x）n=x2n-2•（1-x）n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）

令y′=0，得x1=0，x2=，x3=1，且x1＜x2＜x3，

当n为正偶数时，随x的变化，y′与y的变化如下：

所以当x=时，y极大=；当x=1时，y极小=0．

当n为正奇数时，随x的变化，y‘与y的变化如下：

所以x=时，y极大=；无极小值．

（II）=，即=（x≠-1），

所以方程为•=（x≠-1），

∴x==＞0，

又x-1=，而对于n∈N*，有2n+1＞n+2（利用二项式定理可证），

∴x＜1．

综上，对于任意给定的正整数n，方程只有唯一实根，且总在区间（0，1）内，所以原方程在区间（0，1）上有唯一实根．

解：（1）函数f（x）=-x2+2ex+m-1，

令f（x）=0，则x2-2ex+1-m=0，

则x1+x2=2e，x1•x2=1-m，

若f（x）的两个零点x1，x2，满足x1＜1＜x2，

则（x1-1）（x2-1）＜0，

∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，

∴1-m-2e+1＜0，

解得：m＞2-2e；

（2）当x＞0时，g（x）=x+≥2=2e，

当且仅当x=e时，g（x）取得最小值，且为2e，

若g（x）=m有零点，只需m≥g（x）最小值=2e，

∴m≥2e；

（3）函数h（x）=g（x）-f（x）有两个零点，

即为y=f（x）和y=g（x）的图象有两个交点，

由于g（x）在x=e处取得最小值2e，

f（x）=-（x-e）2+e2+m-1，即有f（x）在x=e处取得最大值e2+m-1，

则有e2+m-1＞2e，

解得m＞2e+1-e2．

则实数m的取值范围是（2e+1-e2，+∞）．

解：（Ⅰ）f′（x）=ex-m-，

因为x=0是函数的极值点，所以f‘（0）=0，即e-m-1=0，解得m=0，

当m=0时，f（x）=ex-ln（x+1），

为（-1，+∞）上的增函数，

又由于f'（0）=0，

故x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）递减；

x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；

（Ⅱ）当m≤-1时，对于x∈（-1，+∞），

首先：x∈R时，ex≥x+1恒成立；

其次：x∈（-1，+∞）时，x≥ln（x+1）恒成立；

所以ex-m≥ex+1＞ex≥x+1＞x≥ln（x+1），

所以，ex-m＞ln（x+1），即ex-m-ln（x+1）=f（x）＞0成立．