- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知f（x）=ax3+bx，若方程f（x）=0有三根x1，x2，x3，则f（x1）+f（x2）+f（x3）=______．
正确答案
0
解析
解：由于方程f（x）=0有三根x1，x2，x3，
故f（x1）=0，f（x2）=0，f（x3）=0，
则f（x1）+f（x2）+f（x3）=0
故答案为 0
（理工类考生做） 已知函数
（1）求函数f（x）的另一个极值点；
（2）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M-m≥1时k的取值范围．
正确答案
解析
解：（1）f′（x）=
由题意知f′（-c）=0，即得c2k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f′（x）=0，得-kx2-2x+ck=0，
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或x=c-
（Ⅱ）由（*）式得k=
当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜-2．
（i）当k＞0时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是减函数，在（-c，1）内是增函数．
∴M=f（1）=
由M-m=
（ii）当k＜-2时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是增函数，在（-c，1）内是减函数．
∴M=f（-c）=
综上可知，所求k的取值范围为（-∞，-2）∪[
函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，x1、x2是两个极值点，则x12+x22=______．
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x3+bx2+cx+d的零点有-1、0、2．
∴
∴f（x）=x3-x2-2x∴f′（x）=3x2-2x-2．
又x1、x2是f（x）的两个极值点，∴x1、x2是方程3x2-2x-2=0的两个根．
则x1+x2=
因此x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=
故答案为
已知函数f（x）=16ln（1+x）+x2-10x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
正确答案
解：（1）f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞）
令f‘（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
∴f（x）极大=f（1）=16ln2-9，f（x）极小=f（3）=32ln2-21．
又x→-1+时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞；
可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，
当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，
当且仅当f（3）＜b＜f（1），
故b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）
解析
解：（1）f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞）
令f‘（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
∴f（x）极大=f（1）=16ln2-9，f（x）极小=f（3）=32ln2-21．
又x→-1+时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞；
可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，
当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，
当且仅当f（3）＜b＜f（1），
故b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）
已知函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1
（1）求a、b的值；
（2）求出函数f（x）的单调区间．
正确答案
解：（1）∵f′（x）=3x2-6ax+2b，函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=
∴f（x）=x3-x2-x
（2）∵f′（x）=3x2-2x-1
∴由f′（x）=3x2-2x-1＞0得x∈（-∞，-
由f′（x）=3x2-2x-1＜0得x∈（-
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-
解析
解：（1）∵f′（x）=3x2-6ax+2b，函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=
∴f（x）=x3-x2-x
（2）∵f′（x）=3x2-2x-1
∴由f′（x）=3x2-2x-1＞0得x∈（-∞，-
由f′（x）=3x2-2x-1＜0得x∈（-
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-
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