热门试卷

解：（Ⅰ）∵f′（x）=1+，

∴f′（3）=0⇒+1=0，∴a=-1；

（Ⅱ）∵f（x）=x+alnx，且f′（x）=，

∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没有减区间；

当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：

则函数的增区间是（-a，+∞），减区间是（0，-a）．

解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）=2ax-gx，∴f（x）-f′（x）=ax（x-2）…（4分）

原不等式等价于f（x）-f′（x）=ax（x-2）＞0，

当a=0时，无解；                                    …（5分）

当a＞0时，解集为{x|x＜0，或x＞2}；                  …（6分）

当a＜0时，解集为{x|0＜x＜2}                       …（7分）

（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax-gx，

则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，则g′（x）=2a-gx…（9分）

若a≤0时，g′（x）＜0恒成立，g（x）单调递减，方程g（x）=0不可能有两个根…（11分）

若a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，

当x∈（-∞，ln2a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减 …（13分）

∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a＞0，解得a＞     …（15分）

解：（Ⅰ）由函数f（x）图象过点（1，-4），得m-n=-3，①

由f（x）=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n，

则g（x）=f′（x）+6x=3x2+（2m+6）x+n；

而g（x）图象关于y轴对称，所以-=0，所以m=-3，

代入①得n=0．所以m、n的值分别为-3、0；

从而f（x）=x3-3x2-2，f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）．

由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，故f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞）；

由f′（x）＜0得0＜x＜2，故f（x）的单调递减区间是（0，2）．

∴f（x）的极大值为f（0）=-2，极小值为f（2）=-6；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），

令f′（x）=0得x=0或x=2．

当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

由此可得：

①当-2＜a≤0时，f（x）在[-2，a]内为增函数，最大值为f（a）=a3-3a2-2；

②当0＜a≤3时，由于f（0）≥f（a），f（x）在[-2，a]内最大值为f（0）=-2；

③a＞3时，由于f（0）＜f（a），可得f（x）在[-2，a]内最大值为f（a）=a3-3a2-2．