- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
设函数f（x）=
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解；（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-
令f′（x）=0，得x=1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值；
（Ⅱ）f′x）=（1-a）x+a-
当
当
当
综上，a=2时，f（x）在（0，+∞）递减，a＞2时，f（x）在（0，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上递减，
x=1时，f（x）最大，x=2时，f（x）最小，
∴|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（2）=
∴ma+ln2＞
a＞0时，经整理得m＞
由2＜a＜3得；-
∴m≥0．
解析
解；（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-
令f′（x）=0，得x=1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值；
（Ⅱ）f′x）=（1-a）x+a-
当
当
当
综上，a=2时，f（x）在（0，+∞）递减，a＞2时，f（x）在（0，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上递减，
x=1时，f（x）最大，x=2时，f（x）最小，
∴|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（2）=
∴ma+ln2＞
a＞0时，经整理得m＞
由2＜a＜3得；-
∴m≥0．
已知函数f（x）=2ax3-3ax2+1，
（I）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若任意给定的x0∈[0，2]，在[0，2]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．
正确答案
解：（I）f‘（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜0；
由f'（x）＜0，得0＜x＜1；
故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0]，[1，+∞）；
单调递减区间是[0，1]．
（II）f′（x）=6ax2-6ax=6ax（x-1）．
①当a=0时，显然不可能；
②当a＞0时，函数f（x）的变化情况如下表所示
又因为当
对任意
③当a＜0时，函数f（x）的变化情况如下表所示
f（x）在[0，2]的最大值为1-a；
又因为当
对任意
由题意，必有g（x）max＜f（x）max，
即
∴a＜-1
综上，a的取值范围为（-∞，-1）．
解析
解：（I）f‘（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜0；
由f'（x）＜0，得0＜x＜1；
故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0]，[1，+∞）；
单调递减区间是[0，1]．
（II）f′（x）=6ax2-6ax=6ax（x-1）．
①当a=0时，显然不可能；
②当a＞0时，函数f（x）的变化情况如下表所示
又因为当
对任意
③当a＜0时，函数f（x）的变化情况如下表所示
f（x）在[0，2]的最大值为1-a；
又因为当
对任意
由题意，必有g（x）max＜f（x）max，
即
∴a＜-1
综上，a的取值范围为（-∞，-1）．
设函数f（x）=
（Ⅰ）求数列{xn}．
（Ⅱ）设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn．
正确答案
解：（Ⅰ）求导函数可得
令f′（x）＞0，可得
令f′（x）＜0，可得
∴
∴xn=
（Ⅱ）Sn=x1+x2+…+xn=2π（1+2+…+n）-
∴当n=3k（k∈N*）时，sinSn=sin（-2kπ）=0；
当n=3k-1（k∈N*）时，sinSn=sin
当n=3k-2（k∈N*）时，sinSn=sin
解析
解：（Ⅰ）求导函数可得
令f′（x）＞0，可得
令f′（x）＜0，可得
∴
∴xn=
（Ⅱ）Sn=x1+x2+…+xn=2π（1+2+…+n）-
∴当n=3k（k∈N*）时，sinSn=sin（-2kπ）=0；
当n=3k-1（k∈N*）时，sinSn=sin
当n=3k-2（k∈N*）时，sinSn=sin
函数y=x+
正确答案
解析
解：函数的定义域为{x|x≠0}
因为
所以
当x＜-1或x＞1时，y′＞0；当-1＜x＜0或0＜x＜1时，y′＜0，
所以当x=-1时函数有极大值-2；当x=1时函数有极小值2．
故选A．
已知函数f（x）=ax-3，g（x）=bx-1+cx-2（a，b∈R）且g（-
（1）试求b，c所满足的关系式；
（2）若b=0，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）有唯一解，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）由
∴b，c所满足的关系式为b-c-1=0．
（2）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1，
因为方程f（x）=g（x），即ax-3=-x-2，
可化为a=3x-1-x-3，令x-1=t，
由题意可得，a=3t-t3在（0，+∞）上有唯一解．
令h（t）=3t-t3（t＞0），由h′（t）=3-3t2=0，可得t=1，
当0＜t＜1时，由h′（t）＞0，可知h（t）是增函数；
当t＞1时，由h′（t）＜0，可知h（t）是减函数，
故当t=1时，h（t）取极大值2；
故当a=2或a≤0时，方程f（x）=g（x）有且仅有一个正实数解．
则所求a的取值范围为{a|a=2或a≤0}．
解析
解：（1）由
∴b，c所满足的关系式为b-c-1=0．
（2）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1，
因为方程f（x）=g（x），即ax-3=-x-2，
可化为a=3x-1-x-3，令x-1=t，
由题意可得，a=3t-t3在（0，+∞）上有唯一解．
令h（t）=3t-t3（t＞0），由h′（t）=3-3t2=0，可得t=1，
当0＜t＜1时，由h′（t）＞0，可知h（t）是增函数；
当t＞1时，由h′（t）＜0，可知h（t）是减函数，
故当t=1时，h（t）取极大值2；
故当a=2或a≤0时，方程f（x）=g（x）有且仅有一个正实数解．
则所求a的取值范围为{a|a=2或a≤0}．
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