- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
函数f（x）=ex+ax在x=0处取得极值，则a等于（ ）
正确答案
解析
解：∵f′（x）=ex+a，
∴f′（0）=e0+a=0，
∴a=-1，
故选：D．
已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0，求常数a，b的值．
正确答案
解：∵f（x）在x=-1时有极值0，
且f′（x）=3x2+6ax+b，
∴
解得：
当a=1，b=3时，
f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，
∴f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a=2，b=9时，
f′（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），
当x∈（-∞，-3）时，f（x）为增函数；
当x∈（-3，-1）时，f（x）为减函数；
当x∈（-1，+∞）时，f（x）为增函数；
∴f（x）在x=-1时取得极小值．
∴a=2，b=9．
解析
解：∵f（x）在x=-1时有极值0，
且f′（x）=3x2+6ax+b，
∴
解得：
当a=1，b=3时，
f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，
∴f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a=2，b=9时，
f′（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），
当x∈（-∞，-3）时，f（x）为增函数；
当x∈（-3，-1）时，f（x）为减函数；
当x∈（-1，+∞）时，f（x）为增函数；
∴f（x）在x=-1时取得极小值．
∴a=2，b=9．
（1）当x=
（2）f（x）有两个极值点；
（3）c=6；
（4）当x=1时函数取得极大值．
正确答案
（1）
解析
解：由f（x）=x3+bx2+cx，所以f′（x）=3x2+2bx+c．
由导函数的图象可知，当x∈（-∞，1），（2，+∞）时f′（x）＞0，
当x∈（1，2）时f′（x）＜0．
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），（2，+∞）
减区间为（1，2）．
则函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=2时取得极小值．
由此可知（1）不正确，（2），（4）正确，
把（1，0），（2，0）代入导函数解析式得
所以（3）正确．
故答案为（1）．
设定函数f（x）=
（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．
正确答案
解：由得f′（x）=ax2+2bx+c
因为f′（x）-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，所以
（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得
解得b=-3，c=12
又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，
故f（x）=x3-3x2+12x．
（Ⅱ）由于a＞0，所以“
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）2-4ac=9（a-1）（a-9）
解
即a的取值范围[1，9]
解析
解：由得f′（x）=ax2+2bx+c
因为f′（x）-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，所以
（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得
解得b=-3，c=12
又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，
故f（x）=x3-3x2+12x．
（Ⅱ）由于a＞0，所以“
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）2-4ac=9（a-1）（a-9）
解
即a的取值范围[1，9]
已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M-m≥1时k的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）
由题意知f‘（-c）=0，即得c2k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f'（x）=0得-kx2-2x+ck=0，
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或
（Ⅱ）由（*）式得
当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜-2．
（i）当k＞0时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是减函数，在（-c，1）内是增函数．
∴
由
（ii）当k＜-2时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是增函数，在（-c，1）内是减函数．
∴
综上可知，所求k的取值范围为
解析
解：（Ⅰ）
由题意知f‘（-c）=0，即得c2k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f'（x）=0得-kx2-2x+ck=0，
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或
（Ⅱ）由（*）式得
当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜-2．
（i）当k＞0时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是减函数，在（-c，1）内是增函数．
∴
由
（ii）当k＜-2时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是增函数，在（-c，1）内是减函数．
∴
综上可知，所求k的取值范围为
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