- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是______．
正确答案
1
解析
令f′（x）=0得x1=1或x=3．
∴x≤1时，f（x）单调递增，最大值为-6；当1＜x≤3时，f（x）单调递减，最小值为-10；当x＞3时，f（x）单调递增，最小值为-10，
由上分析知y=f（x）的图象如图，与x轴只有一个公共点，
所以方程x3-6x2+9x-10=0只有一个实根．
故答案为：1
设函数f（x）=lnx+ax2-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：
①对于任意实数x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，
②对于任意实数x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，
正确答案
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
依题意，f‘（1）=1+2a-（3a+1）=0，解得a=0．
此时，f（x）=lnx-x+1，
因为x∈（0，+∞），令f'（x）＞0，可得x∈（0，1）；令f'（x）＜0，可得x∈（1，+∞）．
所以，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
因此，当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=0．
（Ⅱ）令
=
由（Ⅰ）中的结论可知，lnx-x+1＜0对任意x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即lnx＜x-1（*）恒成立．
（ⅰ）如果x1，x2∈（0，1），且x1≠x2，则
根据（*）可得
若f（x）满足性质①，则
于是
（ⅱ）如果x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，则
根据（*）可得
则F（x1，x2）＜
于是
综合（ⅰ）（ⅱ）可得，a=
解析
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
依题意，f‘（1）=1+2a-（3a+1）=0，解得a=0．
此时，f（x）=lnx-x+1，
因为x∈（0，+∞），令f'（x）＞0，可得x∈（0，1）；令f'（x）＜0，可得x∈（1，+∞）．
所以，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
因此，当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=0．
（Ⅱ）令
=
由（Ⅰ）中的结论可知，lnx-x+1＜0对任意x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即lnx＜x-1（*）恒成立．
（ⅰ）如果x1，x2∈（0，1），且x1≠x2，则
根据（*）可得
若f（x）满足性质①，则
于是
（ⅱ）如果x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，则
根据（*）可得
则F（x1，x2）＜
于是
综合（ⅰ）（ⅱ）可得，a=
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则f（-1）=______．
正确答案
30
解析
解：由f（x）=x3+ax2+bx+a2，得f′（x）=3x2+2ax+b，
∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，
∴f′（1）=0，f（1）=10，
∴
∴
当
当
∴x∈（-
∴f（-1）=-1+4+11+16=30．
故答案为：30．
关于函数f（x）=（x2-2x-3）ex，给出下列四个判断：
①f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}；
②f（x）有极小值也有极大值；
③f（x）无最大值，也无最小值；
④f（x）有最大值，无最小值．
其中判断正确的是（ ）
正确答案
解析
解：①因为ex＞0，所以由f（x）＜0得）=（x2-2x-3）ex＜0，即x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，即f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜3}，所以①正确．
②函数的导数为f‘（x）=（2x-2）ex+（x2-2x-3）ex=（x2-5）ex，由f'（x）＞0，得
所以当x=
③由②知，当
④由③知f（x）无最大值，也无最小值，所以④错误．
所以判断正确的是①②③．
故选A．
函数f（x）=-1+3x-x3有（ ）
正确答案
解析
解：y′=3-3x2=3（1+x）（1-x）．
令y′=0得x1=-1，x2=1．当x＜-1时，y′＜0，函数y=-1+3x-x3是减函数；
当-1＜x＜1时，y′＞0，函数y=-1+3x-x3是增函数；
当x＞1时，y′＜0，函数y=-1+3x-x3是减函数．
∴当x=-1时，函数y=-1+3x-x3有极小值-3；当x=1时，函数y=-1+3x-x3有极大值1．
故选：C
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