平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足=α•+β•，其中α，β∈R且2α2+β2=．

1）求点P的轨迹C的方程.2）设D（0，2），过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N，且M点在D，N之间，设=λ，求λ的取值范围．

正确答案

1）设P（x，y），由条件=α•+β•，得，代入2α2+β2=．

可得+y2 =1，此即为点P的轨迹C的方程

2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx+2，代入椭圆方程得：

（1+2k2）x2+8kx+6=0

因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，

所以△＞0，解得k2＞

设M（x1，y1），N（x2，y2），

由维达定理可得x1+x2=，x1x2=

由=λ可得x1=λx2代入上式可得

λ+ +2 ==-

因为k2＞，所以2＜λ+＜，解得＜λ＜3且λ≠1

当直线l斜率不存在时，λ=

又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1

所以λ的取值范围是[，1)

题型：简答题

简答题

已知=(cos，sin)，=(cos，-sin)，且θ∈[0，]．求的最值．

正确答案

•=coscos-sinsin=cos2θ

∵θ∈[0，]∴|+|====|2cosθ|=2cosθ

所以===cosθ-

因为θ∈[0，]，所以cosθ∈[，1]，

又函数y=t-在t∈[，1]上是增函数

当cosθ=1，即θ=0时，取得最大值；

当cosθ=，即θ=时，取得最小值-．

题型：简答题

简答题

如图，O，A，B三点不共线，且=2，=3，设=a，=b．

（1）试用a，b表示向量；

（2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．

正确答案

（1）∵B，E，C三点共线，

∴=x+（1-x）=2x+（1-x），①

同理，∵A，E，D三点共线，可得=y+3（1-y），②

比较①，②，得解得x=，y=，

∴=+．

（2）∵=，==，=(+)=，

∴=-=，=-=，

∴=6，∴L，M，N三点共线．

题型：简答题

简答题

已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且•=0，点C满足=2，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．

（1）求曲线E的方程；

（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D（-1，0），且•＞0，求k的取值范围．

正确答案

（1）设A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）

则=（x-a，y），=（a，-b），=（3，-b）

∵•=0，=2

∴（4分）

消去a，b得y2=-4x∵a＜0∴x=3a＜0

故曲线E的方程为y2=-4x（x＜0）（6分）

（2）设直线l方程为y=k（x-1）（7分）

由得k2x2-2（k2-2）x+k2=0（8分）

∵直线l交曲线E于不同的两点M、N∴△＞0

即△=4（k2-2）2-4k2k2＞0∴k2＜1①（9分）

设M（x1，y1），N（x2，y2）则=（x1+1，y1） =（x2+1，y2）

∴

∴•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=＞0

解得k2＞②（11分）

由①②联立解得：＜k2＜1

∴-1＜k＜-或＜k＜1（12分）

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足=+．

（Ⅰ）求证：A，B，C三点共线，并求的值；

（Ⅱ）已知A(1，cosx)，B(1+cosx，cosx)，x∈[-，]，且函数f(x)=•+(2m-)•||的最小值为，求实数m的值．

正确答案

（Ⅰ）∵=+

∴=

又因为，有公共点B，

∴A，B，C三点共线（4分）

∵=2∴=（6分）

（Ⅱ）∵A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），

∴=+=(1，cosx)+(1+cosx，cosx)=(1+cosx，cosx)（8分）

∴•=1+cosx+cos2x又∵||=cosx

∴f(x)=•+(2m-)•||=cos2x+2mcosx+1（10分）

设cosx=t∵x∈[-，]，∴t∈[0，1]

∴y=t2+2mt+1=（t+m）2+1-m2

当-m＜0即m＞0时，当t=0有ymin=1≠

当0≤-m≤1即-1≤m≤0时，当t=-m有ymin=1-m2=

∴m=-

当-m＞1即m＜-1时，当t=1有ymin=2+2m=∴m=-（舍去）

综上得m=-．（15分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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