平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

已知坐标平面内O为坐标原点，=(1，5)，=(7，1)，=(1，2)，P是线段OM上一个动点．当•取最小值时，求的坐标，并求cos∠APB的值．

正确答案

由题意，可设=(λ，2λ)，其中λ∈[0，1]，

则=(1-λ，5-2λ)，=(7-λ，1-2λ)（4分）

设f(λ)=•，则f（λ）=（1-λ）（7-λ）+（5-2λ）（1-2λ）

=5λ2-20λ+12，λ∈[0，1]（8分）

又f（λ）在[0，1]上单调递减

∴当λ=1时f（λ）取得最小值，此时P点坐标为（1，2）（12分）

=(0，3)，=(6，-1)（14分）

∴cos∠APB===-．（16分）

题型：简答题

简答题

已知=(1，cosx)，=(sinx，-1)，函数f(x)=• (x∈R)

（I）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值．

正确答案

（I）f(x)=•=sinx-cosx=sin(x-)．

由-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z)，得-+2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，

∴f（x）的单调递增区间是[-+2kπ，π+2kπ](k∈Z)．

（Ⅱ）f(x)=sin(x-)，

∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，

∴当x-=，即x=时，f(x)max=．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=λ+μ,且λμ=.

(1)求||最小值,并指出此时与,的夹角;

(2)是否存在两定点F1,F2使|||-|||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.

正确答案

(1) 或 (2) 存在 k=2

解:(1)由余弦定理知:

cos∠ACB==⇒∠ACB=.

因为||2==(λ+μ)2

=λ2+16μ2+2λμ·

=λ2+16μ2+1≥3.

所以||≥,当且仅当λ=±1时,“=”成立.

故||的最小值是,

此时<,>=<,>=或.

(2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A,B(2,-2),

设动点M(x,y),

因为=λ+μ,

所以⇒

再由λμ=知-y2=1,

所以,动点M的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,

即存在两定点F1(-2,0),F2(2,0)使|||-|||恒为常数2,即k=2.

题型：简答题

简答题

在△ABC中，点D在BC上，设=，=．

（1）若BD=2DC，求（用，表示）；

（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，AD⊥BC，=λ求实数λ的值．

正确答案

（1）由题意，=+=+=+(-)=+=+；

（2）∵=λ，∴•=λ2，

∴•（-）=λ2，

∵AD⊥BC，∴-•=λ(-)2

∴-(-)•=λ(

∴

2-•=λ(

2-2•+

∴λ=

∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，

∴λ==．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，AB=4，AC=3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则•=______．

正确答案

取BC的中点D，由条件得 •=（ + ）•（ -）=（ +）•（ -）

=+•（ - ）=+•=-+0=-，

故答案为：-．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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