与圆有关的比例线段
共1078题

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与圆有关的比例线段
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题型：简答题

简答题

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q

（1）求证：AC2=CQ•AB；

（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．

正确答案

（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，

又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，

因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，

所以△ACB∽△CQA，所以，

所以AC2=CQ•AB…（5分）

（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，

由AB=，BP=2得，PC=6，

AP为圆O的切线

又因为AQ为圆O的切线…（10分）

解析

（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，

又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，

因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，

所以△ACB∽△CQA，所以，

所以AC2=CQ•AB…（5分）

（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，

由AB=，BP=2得，PC=6，

AP为圆O的切线

又因为AQ为圆O的切线…（10分）

题型：填空题

填空题

如图，以△ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2．那么CD=______．

正确答案

解析

解：连结AE，OE，O是圆的圆心，因为AB是圆的直径，所以AE⊥BC，

又AF=3BF，EF⊥AB，所以△OBE是正三角形，BE=2EC=2．所以圆的半径为2，

AE==2，所以AC==，

CA与CB是圆的割线，所以CD•CA=CE•CB，

==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则MN的长为______．

正确答案

解：已知AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则OB=，

在△OBM中利用勾股定理：BM2=OB2+OM2 解得：BM=2

进一步求得：CM=1+，AM=-1

利用相交弦定理：BM•MN=CM•AM

即2MN=（+1）（-1）

解得：MN=1

解析

解：已知AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则OB=，

在△OBM中利用勾股定理：BM2=OB2+OM2 解得：BM=2

进一步求得：CM=1+，AM=-1

利用相交弦定理：BM•MN=CM•AM

即2MN=（+1）（-1）

解得：MN=1

题型：简答题

简答题

（2015春•巫溪县期末）如图，过圆O外一点P引圆的两条割线分别交圆O于A、B、C、D四点．

（Ⅰ）若AC=AP，求证：BD=PD．

（Ⅱ）若PA=AB，PC=CD，求的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵AC=AP，∴∠ACP=∠P，

∵∠ACP=∠B，

∴∠B=∠P，

∴BD=PD．

（Ⅱ）解：设PA=x，PC=y，则PB=3x，PD=2y，

由割线定理得3x2=2y2，∴=，

∴==．

解析

（Ⅰ）证明：∵AC=AP，∴∠ACP=∠P，

∵∠ACP=∠B，

∴∠B=∠P，

∴BD=PD．

（Ⅱ）解：设PA=x，PC=y，则PB=3x，PD=2y，

由割线定理得3x2=2y2，∴=，

∴==．

题型：填空题

填空题

如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PA=PE，PB=9，PD=1，∠ABC=60°，则EC的长等于______．

正确答案

解析

解：∵PA是圆O的切线，

∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3

∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC

∴∠PAC=∠ABC=60°，

∵△ADE中，PE=PA，

∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3

∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2

∵圆O中，弦AC、BD相交于E，

∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4

故答案为：4．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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