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解：（1）f′（x）=ex+4x﹣3，则f'（1）=e+1，

又f（1）=e﹣1，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+1=（e+1）（x﹣1），

即（e+1）x﹣y﹣2=0；

（2）∵f′（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+1＞0，

∴f′（0）·f′（1）＜0，

令h（x）=f′（x）=ex+4x﹣3，

则h′（x）=ex+4＞0，

∴f′（x）在[0，1]上单调递增，

∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，

∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点

（3）由，

得，

即，

∵，∴，

令，则，

令，

则Φ'（x）=x（ex﹣1）

∵，∴Φ'（x）＞0，

∴Φ（x）在上单调递增，

∴，

因此g'（x）＞0，

故g（x）在上单调递增，

则．

解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，

所以在，内分别有一个实根，

设两实根为（），则，且

于是，，且当，

即，时等号成立

故的最大值是16。

（2）由知在点处的切线l的方程是，

即，

因为切线l在点A处穿过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，

则不是g（x）的极值点

而，

且

若，则和都是的极值点

所以，即，

又由，得，

故。

解：（1）由题意可得b﹣a﹣c=0，函数f（x）=3ax2+2bx+c，且f（0）f（1）=c（3a+2b+c）0．

化简可得 3b2﹣ab﹣2a20，

a0，

3﹣﹣20．解得﹣1，

故 的取值范围是．

（2），

，

故当 ，即a=b时，取最小值，即|x1﹣x2|取最小值．

此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．

当a＞0时  f（x）在 上是增函数，在 上是减函数，在（0，+） 上是增函数．

g（x）的极大值为，极小值为g（0）=0．

由题意，a=9，此时g（x）=9x3+9x2．

当a＜0时，f（x）在 在 上是减函数，在 上是增函数，在（0，+） 上是减函数．

g（x）的极大值为g（0）=0，极小值为．

由题意 ，a=﹣9，此时g（x）=﹣9x3﹣9x2．

解：(Ⅰ)因x=1是的一个极值点，

∴，即，

∴b=3，经检验，适合题意，所以b=3。

(Ⅱ)，

∴，

∴，∴，

又∵x＞0（定义域），

∴函数的单调减区间为。

(Ⅲ)，

设过点(2，5)的曲线y=g(x)的切线的切点坐标为，

∴，

即∴，

∴，

令，

∴，∴，

∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∵又，

∴h（x）与x轴有两个交点，

∴过点(2，5)可作2条曲线y=g(x)的切线。

解：（1）由题意可得：函数f（x）=x3+bx2+cx+d的导数为：f'（x）=3x2+2bx+c，

因为函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，

所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，

所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，

解得：b=﹣，c=6．

（2）设切点为（x0，y0），

由（1）可得：f'（x）=3x2﹣9x+6，

因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，

所以f'（x0）=6，即x0=3或者x0=0，

当x0=3时，y0=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3x2+6x+．

当x0=0时，y0=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3x2+6x+1．

（3）由题意可得：f（x）=x3x2+6x+1，并且P（0，1），

设切点的坐标为（x1，y1），所以==…①．

又因为f'（x）=3x2﹣9x+6，所以K切=3x12﹣9x1+6…②，

由①②可得：，

所以切点为（，），所以，

所以切线方程为15x﹣16y+16=0．

所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x﹣16y+16=0．

解：（1）∵函数f（x）=．

∴f'（x）=x2﹣2mx+m2﹣4

当m=3时，f '（2）=﹣3，f（2）=

所以所求的直线方程为9x+3y﹣20=0．

（2）∵函数f（x）==x[]

若关于x的方程f（x）=0有三个互不相等的实根0，α，β

则△=m2﹣＞0，

解得：﹣4＜0＜4

故满足条件的实数m的取值范围为（﹣4，4）

（3）∵f'（x）=x2﹣2mx+m2﹣4=[x﹣（m﹣2）][x﹣（m+2）]，

f（x）在（﹣∞，m﹣2）上递增，在（m﹣2，m+2）递减，在（m+2，+∞）递增，

f（x）极大值=f（m﹣2）=（m﹣2）3﹣m（m﹣2）2+（m2﹣4）（m﹣2）＞0，

f（x）极小值=f（m+2）=（m+2）3﹣m（m+2）2+（m2﹣4）（m+2）＜0，

得﹣4＜m＜4且m2﹣4≠0，得﹣4＜m＜4，m≠±2．

若m+2＜0，即m∈（﹣4，﹣2），

当x∈[α，β]时，f（x）min=0，

∴当m∈（﹣4，﹣2）时，f（x）≥﹣恒成立．

若m﹣2＜0＜m+2，即m∈（﹣2，2）

要使当x∈[α，β]时，f（x）≥﹣恒成立，即f（x）min=f（m+2）≥﹣．

f（m+2）=（m+2）3﹣m（m+2）2+（m2﹣4）（m+2）≥﹣，得m（m2﹣12）≥0

∵m∈（﹣2，2）

∴m2﹣12＜0，

∴m≤0，

∴当﹣2＜m≤0时，f（x）≥﹣恒成立．

若0＜m﹣2，即m∈（2，4），要使当x∈[α，β]时，f（x）≥﹣恒成立，

即f（x）min=f（m+2）≥﹣，

f（m+2）=（m+2）3﹣m（m+2）2+（m2﹣4）（m+2）≥﹣

得m（m2﹣12）≥0

∵m∈（2，4）

∴2≤m＜4

综上得：m的取值范围是（﹣4，﹣2）．

解：（1）设与的公共点为，

∵，，

由题意，，

即，，

得得：或（舍去），

即有。（2），

则，

所以在上为减函数，在上为增函数，

于是函数在时有极小值，

，

无极大值。

（3）由（1）知，令，

则，

当，即时，；

当，即时，；

故在为增函数，在为减函数，

于是在上的极大值即为最大值：，

即b的最大值为。

解：（1）因为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，

整理得，所以切线恒过定点．

（2）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，

因为（*）

令p'（x）=0，得极值点x1=1，，

①当时，有x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p'（x）＞0，

此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，

并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；

②当a≥1时，有x2＜x1=1，

同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；

③当时，有2a﹣1≤0，

此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+?）上是减函数；

要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，

所以．

综上可知a的范围是．

（3）当时，

记．

因为，所以y=f2（x）﹣f1（x）在（1，+∞）上为增函数，

所以，

设，

则f1（x）＜R（x）＜f2（x），

所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

解：（Ⅰ）由已知，切点为（2，0），

故有f（2）=0，即4b+c+3=0，①

f′（x）=3x2+4bx+c，

由已知，得8b+c+7=0，②

联立①、②，解得c=1，b=1，

于是函数解析式为f（x）；

（Ⅱ），

，

令g′（x）=0，当函数有极值时，△≥0，方程有实根，

由△=4（1-m）≥0，得m≤1，

①当m=1时，g′（x）=0有实根，在左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）=0无极值；

②m＜1时，g′（x）=0有两个实根，，

当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：

故在m时，函数g（x）有极值，

当时，g（x）有极大值；当时，g（x）有极小值。

解：（1），

令f′(x)=0，得x=0，x=2-a，

当a=2时，恒成立，此时函数f(x)单调递减，x=0不是函数的极值点；

当a＞2时，2-a＜0，若x＞0，则f′(x)＜0；若2-a＜x＜0，则f′(x)＞0，此时x=0是函数f(x)的极大值点；

当a＜2时，2-a＞0，若x＜0，则f′(x)＜0；若0＜x＜2-a，则f′(x)＞0，x=0是函数f(x)的极小值点；

综上所述，使得函数f(x)在x=0处取得极小值的a的取值范围是a＜2。

（2）由（1）知a＜2时，函数f(x)在x=2-a时取得极大值，

故函数f(x)的极大值等于，故，

（x＜2），

令，则，对于x＜2大于零恒成立，即函数h(x)在(-∞，2)单调递减，

故在(-∞，2)上，，即恒有g′(x)＜1，

由直线2x-3y+m=0的斜率是，直线3x-2y+n=0的斜率是，

根据导数的几何意义知曲线g(x)只能可能与直线2x-3y+m=0相切。

解（1）f'（x）=﹣x2+2bx﹣3a2由题意知f'（a）=﹣a2+2ba﹣3a2=0

则b=2a

∴

（2）由已知可得g（x）=2x3+3ax2﹣12a2x+3a3则g'（x）=6x2+6ax﹣12a2=6（x﹣a）（x+2a）

令g'（x）=0，得x=a或x=﹣2a

若a＞0，当x＜﹣2a或x＞a时，g'（x）＞0；

当﹣2a＜x＜a时，g'（x）＜0

所以当x=a时，g（x）有极小值，

∴0＜a＜1若a＜0，

当x＜a或x＞﹣2a时，g'（x）＞0；

当a＜x＜﹣2a时，g'（x）＜0

所以当x=﹣2a时，g（x）有极小值，

∴0＜﹣2a＜1即

所以当或0＜a＜1时，g（x）在开区间（0，1）上存在极小值．

解：（1）由f′（x）=﹣3x2+2ax（a＞0），

令f′（x）=0，得x=0或x= a． 

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

解得b=1，a=1．

∴f（x）=﹣x3+x2+1．

（2）tanθ=f'（x）=﹣3x2+2ax=，

∵a∈[，]，

∴≤≤．

∵x∈[0，1]，

∴f'（0）≤f'（x）≤f'（）．

∴0≤f'（x）≤，即0≤tanθ≤，

∵0≤θ≤π

∴θ∈[0，arctan]，

∴θ的取值范围是[0，arctan]．

解：(Ⅰ)因为，

而函数在x=1处取得极值2，

所以，即，解得，

所以即为所求．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

令f′(x)=0，得x1=-1，x2=1，

则f(x)的增减性如下表：

可知，f(x)的单调增区间是[-1，1]，

所以，，

所以当m∈(-1，0]时，函数f(x)在区间(m，2m+1)上单调递增．

(Ⅲ)由条件知，过f(x)的图象上一点P的切线l的斜率k为：

，

令，则t∈(0，1]，

此时，，

根据二次函数的图象性质知：

当时，；当t=1时，kmax=4；

所以，直线l的斜率k的取值范围是。

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax2+4bx-3

∵函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点是x=1和x=-1。

∴f′（1）=f′（-1）=0  

∴，

∴a=1，b=0

此时f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），

可知x=1和x=-1是函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点；

（2）设切点为P（x0，f（x0） ），则f′（x0）=3x0-3，

∴切线方程为 

即y=3（x0-1）x+x03-3 

∵点A（1，-2）在切线上，

∴-2=3（x0-1）+x03-3 

即x03-3 +3x0-1=0

∴x0=1，

∴切线方程是y=-2。