热门试卷

解：（1）f'（x）=3mx2﹣1，依题意，得，即1=3m﹣1，

∴，把N（1，n）代得，得，

∴

（2）令，则，

当时，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数当时，f'（x）=2x2﹣1＜0，f（x）在此区间为减函数

当时，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数处取得极大值

又因此，当，要使得不等式f（x）≤k﹣1995

对于f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立，则k≥15+1995=2010

所以，存在最小的正整数k=2010，使得不等式f（x）≤k﹣1992对于x∈[﹣1，3]恒成立．

解：（1）由题意可知，抛物线C1的准线方程为：

所以圆心M到抛物线C1准线的距离为；

（2）设点P的坐标为（x0，x02），抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D

再设A，B，D的横坐标分别为

过点P（x0，x02）的抛物线C1的切线方程为：  （1）

当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：

可得

所以

设切线PA，PB的斜率为，则

   （2）

  （3）

将分别代入（1），（2），（3），得

从而

又

即

同理

所以是方程的两个不相等的根，从而

，

因为

所以，即

从而

进而得

综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（，）。

解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，

∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．

（2）由f'（﹣1）=0得，

此时有．

由f'（x）=0得或x=﹣1，

又，

所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．

（3）f'（x）=3x2-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，

由条件得f'（-2）≥0，f'（2）≥0，

∴-2≤a≤2．

所以a的取值范围为[-2，2]．

解：（Ⅰ）由已知得，

由已知得，  

故。

 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，

知f（x）在上为减函数，在上为增函数， 

要使△OAB的面积最大，由O、A两点在x轴上且|OA|=2知，

只需在上，的值最大，

由f（x）在区间上的单调性知，

只有当或时，的值最大，

而， 

故当时，△AOB的面积最大，且最大值为。

解：（1），

又，

∴，

∵两曲线在点P处的切线互相垂直，

∴，

，

∴，

∴。

（2），

对任意的恒成立

，

 ，

则f′（x）＞0得，

∴函数f（x）在上递减，在上递增，

而，

∴，

而，

当x∈[-1，1]时，，

故；

∴实数k的取值范围是（-∞，-2）。

解：（Ⅰ）∵，

令时，解得，

当x变化时，变化如下：

由上表可知：，

又，，

比较可得：当时，，

因为恒成立，所以，即，

所以最小正整数。

（Ⅱ），

则，

所以，

又因为，

所以切线方程为，

令，，

令，，

所以，

因为，

则，

则，

所以，即S在单调递增，

所以a=2时，。

解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c

∴c=0

∵f'（x）=3ax2+b的最小值为﹣12

∴b=﹣12

又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为 

因此，f'（1）=3a+b=﹣6

∴a=2，b=﹣12，c=0．

（Ⅱ）f（x）=2x3﹣12x．

，

列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是和

∵f（﹣1）=10，，f（3）=18

∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．

解：(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1)，

所以=(-x，-1-y)，=(0，-3-y)，=(x，-2)，

再由题意得知，即(-x，-4-2y)·(x，-2)=0，

所以曲线C的方程式为y=x2-2。

(Ⅱ)设P(x0，y0)为曲线C：y=x2-2上一点，因为y′=x，

所以l的斜率为，

因此直线l的方程为，

即，

则O点到l的距离，

又，

所以，当=0时取等号，

所以O点到l距离的最小值为2。

解：（1）由，

求得交点A（﹣2，0），B（3，5）

（2）因为y'=2x，则y'|x=﹣2=﹣4，y'|x=3=6，

所以抛物线在A，B处的切线方程分别为

y=﹣4（x+2）与 y﹣5=6（x﹣3）4x+y+8=0 与6x﹣y﹣13=0

解：（1）设S（x，y），根据题意，

|ST|2=|SC|2=22+|y|2，

即。

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）

所以

则PA：，即

设P（t，t-2），P在PA上

同理，P在PB上

故x1，x2是方程

的两根，

故恒过点（2，2）。

（3）证明：过点M所作垂线l1的方程为y-2=-（x-2）x+y-4=0，解出垂足N（3，1）

MN的斜率为-1，故倾斜角为

若AN，BN的斜率均存在，则设其分别为k1，k2，

对应的倾斜角分别为α，β，

要证MN是∠ANB的平分线，只要证∠ANM=∠BNM，

即，

即要证k1k2=1

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y= k（x-2）+2代入x2=4y，

得x2-4kx+8k-8=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=8k-8

y1+y2=k（x1-2）+2+k（x2-2）+2 =4k2-4k+4，②

将②，③代入①，得

当时，k1k2=1，当时，解得A，B两点的坐标分别为（-2，1），，

验证AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，

即∠ANM=∠BNM，

即MN是∠ANB的平分线。

解：（Ⅰ）设抛物线Q1的方程为x2=2py（p＞0），

由过点（1，2）得4=2p，解得p=2，

∴Q1：x2=4y，

抛物线Q2与Q1关于x轴对称，故抛物线Q2的方程为x2=-4y；

（Ⅱ）由题意知AB的斜率必存在且过焦点，

设AB：y=kx+1，联立消y得x2-4kx-4=0，

根据韦达定理有：x1+x2=4k，x1x2=-4，

∵抛物线Q1的方程为，

∴，

∴，

，

∴，同理可得l2：，

∵N（m2，n2）在直线l1上，且，

∴，

，

∴

代入上式得，

两边同乘以，得，

而，故有，

即S（s，t）满足l2的方程，

故点S恰在直线l2上。

（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F的距离与动点P到直线的距离相等，

由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为y=x2．

（Ⅱ）证明：设，

由，得，

所以，

设，则，

因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为，

由y=x2，可得y′=2x，所以当x=时，y′=k，

所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．

（Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′：，

代入y=x2，可得， （*）

若存在两点关于直线l对称，则，

又在l上，

所以，

由方程（*）有两个不等实根，

所以，即，

所以，解得或。