- 导数及其应用
- 共31591题
一质点的运动方程是s=5-3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（ ）
正确答案
解析
解：
故选D．
若f（x）是在（-l，l）内的可导奇函数，且f′（x）不恒为0，则f′（x）（ ）
正确答案
解析
证明：对任意
由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是 f′（-x）=
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-1，1）内的偶函数．
故选B．
求函数f（x）=
正确答案
解：x≤0时，函数f（x）=x2+2x在x=0附近的平均变化率
x＞0时，函数f（x）=x+1在x=0附近的平均变化率
解析
解：x≤0时，函数f（x）=x2+2x在x=0附近的平均变化率
x＞0时，函数f（x）=x+1在x=0附近的平均变化率
下列4组函数：①y=x2；②y=2x；③y=log2x；④y=2x那个函数增长速度最快______（填序号）
正确答案
②
解析
解：：①y=x2，y′=2x；②y=2x，y=′ln2.2x③y=log2x，y′=
从解析式上看x逐渐增大时，①也增大，但是变化的不快；②的导函数值，受2x的影响，变化最快；③慢慢变小；④不变．
故答案为：②
如图，函数的图象在P点处的切线方程是y=-x+8，若点P的横坐标是5，则f（5）+f′（5）=（ ）
A
B1
C2
D0
正确答案
解析
解：∵函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8，
∴f′（5）=-1，f（5）=-5+8=3，
∴f（5）+f′（5）=3-1=2，
故选：C．
已知函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是______．
正确答案
2+△x
解析
解：函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：
故答案为：2+△x．
若质点M按s=t3运动，则t=3s时瞬时速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵s=t3，∴v=s′=3t2，∴t=3s时瞬时速度v=3×32=27．
故选B．
已知函数f（x）=lnx-
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=ex也相切？若存在，满足条件的x0有几个？
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=lnx-
∴f′（x）=
∵曲线y=f（x）在点（
∴f′（
∴a=1
∴f′（x）=
∵x＞0且x≠1，∴f‘（x）＞0
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）
（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y-lnx0=
即y=
设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，
∵g'（x）=ex，∴
∴x1=-lnx0．（8分）
∴直线l也为y-
即y=
由①②得lnx0-1=
∴lnx0=
下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．
由（1）可知，f（x）=lnx-
又f（e）=-
结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．
解析
解：（1）∵函数f（x）=lnx-
∴f′（x）=
∵曲线y=f（x）在点（
∴f′（
∴a=1
∴f′（x）=
∵x＞0且x≠1，∴f‘（x）＞0
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）
（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y-lnx0=
即y=
设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，
∵g'（x）=ex，∴
∴x1=-lnx0．（8分）
∴直线l也为y-
即y=
由①②得lnx0-1=
∴lnx0=
下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．
由（1）可知，f（x）=lnx-
又f（e）=-
结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．
若函数
正确答案
[2，+∞）
解析
解：∵
由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x-a+
∴a=x+
故答案为：[2，+∞）
一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率恒为0.3m3/s，则但其半径增至1.5m时，半径的增长率是______
正确答案
解析
解：对
已知一组抛物线y=
正确答案
解析
解：由题意知，所有抛物线条数是2×3=6条，从6条中任取两条的方法数是C62=15，
∵y‘=ax+b，
∴在与直线x=1交点处的切线斜率为a+b，
而a为2、4中任取的一个数，b为1、3、5中任取的一个数，保证a+b相等的抛物线对数有2对．
∴它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率为
故答案为
直线y=kx是曲线y=sinx的一条切线，则符合条件的一个k的值为______．
正确答案
1
解析
解：设切点为（x0，y0），而y=sinx的导数为y=cosx，
在切点处的切线方程为y-y0=cosx0（x-x0）
即y=cosx0（x-x0）+sinx0=kx
即得斜率为k=cosx0，x0cosx0=sinx0，
故k就是所有满足x0=tanx0的cosx0值．
令x0=0，得k=1
故答案为：1
已知函数f（x）=x3+ax2+3x+b（a，b∈R），若f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率均大于2，求实数a的取值范围．
正确答案
解：由题意得，f′（x）=3x2+2ax+3，
因为f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率均大于2，
所以3x2+2ax+3＞2恒成立，即3x2+2ax+1＞0，
则△=4a2-4×3×1＜0，解得
所以实数a的取值范围是（-
解析
解：由题意得，f′（x）=3x2+2ax+3，
因为f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率均大于2，
所以3x2+2ax+3＞2恒成立，即3x2+2ax+1＞0，
则△=4a2-4×3×1＜0，解得
所以实数a的取值范围是（-
设函数f（x）=
正确答案
解析
解：∵x→0时，
∴函数f（x）=
故选：D．
曲线f（x）=x2+3x在点A（1，4）处的切线斜率为（ ）
正确答案
解析
解：函数的导数为f‘（x）=2x+3，
所以函数在A（1，4）处的切线斜率k=f'（1）=2+3=5．
故选：B．
扫码查看完整答案与解析