- 导数及其应用
- 共31591题
若曲线f（x）=ex+e-x的一条切线的斜率是
正确答案
ln2
解析
解：∵f（x）=ex+e-x，∴f′（x）=ex-e-x，
设切点的横坐标为x0，可得ex0-e-x0=
整理可得2（
解得
∴x0=ln2
故答案为：ln2
某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是______km/h．
正确答案
-1.6
解析
解：∵甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，当日12时30分时，甲船没有到达A处，故甲乙两船之间的距离函数是
∴
当日12时30分时，t=
此时两船之间距间对时间的变化率是
故答案为：-1.6 km/h．
酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是______．
正确答案
解析
由图知
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=
h‘=
又当h=4时，有t=
当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是
故答案为
设函数f（x）=x2-1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
正确答案
解析
解：△x=1.1-1=0.1，
△y=1.12-1-（12-1）=0.21．
所以函数的平均变化率为
故选A．
曲线y=x3-
A[
B（
C（-
D[-
正确答案
解析
解：由题意，f（x）=x3-
∴曲线y=x3-
故选D．
已知函数y=x3-2，当x=2时，
正确答案
12+6△x+△2x
解析
解：由题意，
故答案为：12+6△x+△2x．
点P在曲线y=x3-x+
A[0，
B[0，
C[
D（
正确答案
解析
解：∵tanα=3x2-1，
∴tanα∈[-1，+∞）．
当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，
当tanα∈[-1，0）时，α∈[
∴α∈[0，
故选B．
设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a=（ ）
A1
B
C
D-1
正确答案
解析
解：y‘=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x-y-6=0平行
∴有2a=2
∴a=1
故选：A
一物体的运动方程为s=
正确答案
解析
解：根据题意可得：物体的运动方程为s=
所以s′=t3，即物体运动的速度为：s′=t3，
所以当t=5时物体的瞬时速度为：s′|t=5=125．
故选C．
函数在y=x3-2x+2在x=2处的切线的斜率为______．
正确答案
10
解析
解：依题意得y′=3x2-2，
函数在y=x3-2x+2在x=2处的切线的斜率为3×22-2=10，
故答案为：10．
若函数f（x）在x=a处有导数，则
正确答案
解析
解：由于函数f（x）在x=a处有导数，
即为f′（a），
运用导数的定义可得
故选B．
已知质点的运动方程是s=3t2，则质点在时刻t=2时的运动速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵质点的运动方程为S=3t2，∴s′=6t
∴该质点在t=2秒的瞬时速度为6×2=12
故选C．
若关于x的不等式x2+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，且函数y=ax3+mx2+x+
A（-2，-
B（-∞，-2）∪（
C[-3，-
D（-∞，-2）∪（-
正确答案
解析
解：∵关于x的不等式x2+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴x=-2，x=1，是方程x2+ax-c=0的两个根，
-a=-1，-c=-2
即a=1，c=2，
∴函数y=x3+mx2+x+1
∴y′=3x2+2mx+1，
∵函数y=x3+mx2+x+1在区间（
∴y′=3x2+2mx+1，有正有负，
可以转化为3x2+2mx+1=0（*）在区间（
∴由3x2+2mx+1=0可得2m=-3x-
令f（x）=-3x-
f‘（x）=-3+
x∈（
x∈（
∴f（x）max=f（
∵f（1）=-4，f（
∴f（x）的值域为（-4，-2
∴2m∈（-4，-2
∴m∈（-2，-
但当m=-
∴m的范围是（-2，-
故选：A．
某物体运动方程s=-4t3+48t，它在某时刻速度为0，则相应时间为（ ）
正确答案
解析
解：由s=-4t3+48t，求导得v=s′=-12t2+48，令-12t2+48=0，
又∵t＞0，解得t=2．
故选C．
正确答案
解：由于斜面的长度S=300cm，α=65°，
则质点在斜面上运动时，它的加速度a=gsin65°．
又由位移公式
∴在不超过1秒时质点在斜面上运动．
∴T=0.1，0.2，0.3，…，1.0s时质点的速度分别为：
0.1gsin65°，0.2gsin65°，…，gsin65°．
解析
解：由于斜面的长度S=300cm，α=65°，
则质点在斜面上运动时，它的加速度a=gsin65°．
又由位移公式
∴在不超过1秒时质点在斜面上运动．
∴T=0.1，0.2，0.3，…，1.0s时质点的速度分别为：
0.1gsin65°，0.2gsin65°，…，gsin65°．
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