- 导数及其应用
- 共31591题
设函数f（x）在x=1处的导数为1，则
正确答案
解析
解：
故答案为：
给出下列命题，其中正确命题是______（填序号）．
①任何常数的导数都是零；
②直线y=x上任意一点处的切线方程是这条直线本身；
③双曲线y=
④直线y=2x和抛物线y=x2在x∈（0，+∞）上函数值增长的速度一样快．
正确答案
①②③
解析
解：①导数的几何意义是函数在曲线上点处的斜率，当函数为y=k时，函数在其定义域内的斜率为0，则常数的导数为0，故①正确；
②设P（x0，x0）为直线y=x上任意一点，则
③设P（x0，x0）为直线y=
④函数y=2x的瞬时变化率为y′=2，为定值；y=x2在x∈（0，+∞）上的瞬时变化率为y′=2x，随着x的增大而增大，
∴直线y=2x和抛物线y=x2在x∈（0，+∞）上函数值增长的速度不同，故④错误．
∴正确的命题是：①②③．
故答案为：①②③．
已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=
正确答案
4
解析
解：∵函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=
∴f（1）=
∴f（1）+f′（1）=
故答案为：4
某质点按规律s（t）=t2+3（s单位：m，t单位：s）作变速直线运动，则该质点在t=1时的瞬时速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵质点M按照规律s=t2+3运动，
∴s′=2t，
当t=1时，
∴在t=1时的瞬时速度为s′=2×1=2；
故答案为：A．
已知函数f（x）=2x3-
A-
B1
C
D
正确答案
解析
解：设点A（x0，y0）
∵直线x-y+3=0的斜率是1，并且切线与直线x-y+3=0平行
∴函数f（x）过点A处的切线的斜率是1．
根据导数的几何意义得知，f′（x）
故选D．
已知自由下落物体的路程为
正确答案
gt0
解析
解：∵s=
∴物体在t0时刻的瞬时速度为gt0故答案为gt0
函数f（x）=x2-x在区间[-2，t]上的平均变化率是2，则t=______．
正确答案
5
解析
解：函数f（x）=x2-x在区间[-2，t]上的平均变化率是
即t2-t-6=2t+4，t2-3t-10=0，解得t=5或t=-2（舍去）．
所以，当函数f（x）=x2-x在区间[-2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5．
故答案为5．
已知函数f（x）=x2+alnx，若对任意两个正数
正确答案
（0.5，+∞）
解析
解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有 
则当x＞0时，f‘（x）＞2恒成立
f'（x）=
则a＞（2x-2x2）max=0.5
则实数a的取值范围是（0.5，+∞）
故答案为：（0.5，+∞）．
一物体作直线运动，其运动方程为
正确答案
0或1或4
解析
解：由题意可知：
S′=t3-5t2+4t
由导函数的几何意义知：在t=0时刻的速度的大小即距离关于时间函数的导函数在t=0时的值．
又∵由t3-5t2+4t=0解得：
t=0或1或4
故答案为：0或1或4．
若f（x）=x3，f′（x0）=3，则x0的值为______．
正确答案
±1
解析
解：∵f（x）=x3
∴f′（x）=3x2则f′（x0）=3x02=3
解的x0=±1，
故答案为±1
正确答案
-1
解析
解：根据图象知，函数y=f（x）的图象与在点P处的切线交于点P，
f（5）=-5+8=3，
f′（5）为函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率，
∴f′（5）=-1；
故答案为：-1
如果y=f（x）的导函数的图象是开口向上，顶点坐标为（1，-
A
B
C
D
正确答案
解析
结合正切函数的图象，其中红色线为y=
可得α∈
故选B
曲线
正确答案
45°
解析
解：y′=x2，当x=1时，y′=1，从而切线的倾斜角为45°，故答案为45°．
航天飞机发射后的一段时间内，第t秒时的高度h（t）=10t3+20t2+45t+50，其中h的单位为米，则第1秒末航天飞机的瞬时速度是______米/秒．
正确答案
115
解析
解：
h‘（t）=30t2+40t+45，h'（1）=30×12+40×1+45=115．
故答案为：115．
已知f（x）=alnx+
正确答案
（4，+∞）
解析
解：解法一，任取x1、x2∈（0，+∞），
且x1＜x2，
∵
f（x1）-f（x2）＜4（x1-x2），
构造函数g（x）=f（x）-4x，
∴g（x）在（0，+∞）是单调递增函数，
∴g‘（x）=f′（x）-4=
即
∴a＞（4-x）x，
设函数t=4x-x2=-（x-2）2+4≤4，
∴a＞4；
∴a的取值范围是（4，+∞）．
解法二：根据题意，f（x）=alnx+
∴f′（x）=
∴a+x2＞4x，
即a＞4x-x2=4-（x-2）2；
∵4-（x-2）2≤4，当且仅当x=2时，取“=”，
∴a＞4；
∴a的取值范围是（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．
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