热门试卷

解：（1）当p=2时，函数

f（1）=2-2-2ln1=0，f′（x）=

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=2+2-2=2

从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），

即y=2x-2。

（2）

令h（x）=px2-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，

只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，

由题意p>0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

∴

只需

即p≥1时，h（x）≥0，f′（x）≥0，

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）。

（1） （2）．

试题分析：（1）根据点都在函数的图像上，得到．利用“两步一验”即得数列的通项公式.

（2）由导数的几何意义得到，

从而可利用“错位相减法”求数列的前n项和Tn

本题综合性较强，但解题思路明确，难度适中.

试题解析：（1）点都在函数的图像上，

．      2分

当时， 

当时，满足上式，

所以数列的通项公式为       6分

（2）由求导可得，

因为过点的切线的斜率为，，

，

两式相减得

    9分

．         12分

（1）见解析（2）

证明：（I）

故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0

故

（II）0

曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：

∴切线与x轴、y轴正向的交点为

故所求三角形面积表达式为：

（1）见解析（2）h(x)=4x3-3x（3）见解析

（1）解：由f(1)=1,f(-1)=-1得q+s="0,r+p=1"

h(x)=px3-sx2+(1-p)x+s

h’(x)=3px2-2sx+1-p

因为（-1，1）内有两极值且f(1)=1,所以有p>0

=0(*)

又由韦达定理得，即代入(*)中得

因为p>0,a+bÎ（-2，2）,所以

所以有

（2）解：由得s=0，q="0"

所以h(x)=px3+(1-p)x，又

消去p得所以有

所以有h(x)=4x3-3x

（3）解：因为|x|<1时|f(x)|<1,所以有|f(1)|£1,|f(-1)|£1

令F(x)=h(x)+f(x)，G(x)=h(x)-f(x)

则有F(1)=1+f(1)³0,F()=-1+f()<0,F()=1+f(-)>0,F(-1)=-1+f(-1)£0

所以有F（x）在(-1,1)内有极大值和极小值，当x>1时，F(x)>0,当x<-1时，F(x)<0

同理有：G(1)=1-f(1)³0,  G()=-1-f()<0,  G()=1-f(-)>0,

G(-1)=-1-f(-1)£0

所以有G（x）在(-1,1)内有极大值和极小值，当x>1时，G(x)>0,当x<-1时，G(x)<0

所以当|x|>1时，有F(x)G(x)>0即h2(x)>f2(x)即|h(x)|>|f(x)

（I）令f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0)，f2(x)=x3-x2+ax(x＞0)．

①(x)=3x2-(a+5)，由于a∈[-2，0]，从而当-1＜x＜0时，(x)=3x2-(a+5)＜3-a-5≤0，

所以函数f1（x）在区间（-1，0）内单调递减，

②(x)=3x2-(a+3)x+a=（3x-a）（x-1），由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1时，(x)＜0；

当x＞1时，(x)＞0，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，∞）上单调递增．

综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；

（II）证明：由（I）可知：f′（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间(0，)内单调递减，在区间(，+∞)内单调递增．

因为曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)．

不妨x1＜0＜x2＜x3，由3-(a+5)=3-(a+3)x2=3-(a+3)x3+a．

可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0，解得x2+x3=，从而0＜x2＜＜x3．

设g（x）=3x2-（a+3）x+a，则g()＜g(x2)＜g(0)=a．

由3-(a+5)=g(x2)＜a，解得-＜x1＜0，

所以x1+x2+x3＞-+，

设t=，则a=，

∵a∈[-2，0]，∴t∈[，]，

故x1+x2+x3＞-t+=(t-1)2-≥-，

故x1+x2+x3＞-．

（1） ；（2）或．

试题分析：（1）先求出的值，再求函数的导函数，求得的值即为点斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）设切点为，利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．

（1） ∵，∴，求导数得：，

∴切线的斜率为，

∴所求切线方程为，即：．

（2）设与直线平行的切线的切点为，

则切线的斜率为．

又∵所求切线与直线平行，∴，

解得：，代入曲线方程得：切点为或，

∴所求切线方程为：或，

即：或．

（1）；（2）实数的取值范围;（3）详见解析.

试题分析：（1）因为,故, ,,,由此可得,是以4为周期,重复出现,故;（2）若在上恒成立，求实数的取值范围,由得,,即在上恒成立，令,只需求出在上的最小值即可,可利用导数法来求最小值;（3）证明：,由（2）知：时，,即,这样得到，令，叠加即可证出．

试题解析：(1)…周期为4，

.

（2）方法一：即在上恒成立，

当时，；

当时，，设，

，

设，

，则时，增；减.

而，所以在上存在唯一零点，设为，则

,所以在处取得最大值，在处取得最小值，.

综上：.

方法二：设，.

.

当时，在上恒成立，成立，故；

当时，在上恒成立，得，无解.

当时，则存在使得时增，时减，

故，，解得，故.

综上：.

（3）由（2）知：时，

即.

当时，，

，

=，

.

略

19．（本题满分13分）

解: (Ⅰ)因为 , …………1分

，，…………4分

所以函数的图象在处的切线方程为即…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

函数的取值情况列表如下：

…………9分

函数在区间上的最大值，

最小值.                          …………10分

,                                 …………12分

                  …………13分

解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，

故f '（x）=6x2+2ax+b

从而f '（x）=6

y=f '（x）关于直线x=﹣对称，

从而由条件可知﹣=﹣，

解得a=3

又由于f '（x）=0，

即6+2a+b=0，

解得b=﹣12

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1

f '（x）=6x2+6x﹣12

=6（x﹣1）（x+2）

令f '（x）=0，得x=1或x=﹣2

当x∈（﹣∞，﹣2）时，f '（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；

当x∈（﹣2，1）时，f '（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；

当x∈（1，+∞）时，f '（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．

解：（1）当a=0时，

故f'（1）=3e

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e；

（2）

令f'（x）=0，解得x=-2a或x=a-2

由知，-2a≠a-2

以下分两种情况讨论：

（i）若，则-2a＜a-2，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数，

在（-2a，a-2）内是减函数

函数f（x）在x=-2a处取得极大值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a，

函数f（x）在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f（a-2）=（4-3a）ea-2（ii）若，则-2a>a-2，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）内是增函数，在（a-2，-2a）内是减函数

函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）= （4-3a）ea-2函数f（x）在x=-2a处取得极小值f（-2a），且f（-2a）= 3ae-2a。

略

（1）

对任意的------------------------------------------- 1分

-------------------------------- 3分

∵ 

∴

∴，函数在上单调递增。----------------5分

（2）解：令，------------------------------------7分

令（负值舍去）--------------------------------------9分

将代入得--------10分

（3）∵ ∴   ----------------------------------------12分

∵   ∴（等号成立当）--------------------14分

∴的取值范围是-------- 16分

（1）y”（2）

（1）

．

（2），

．