热门试卷

当底宽为m时，所用材料最省.

试题分析：设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为m,

,求导可得，当时，；当时，，那么是函数的极小值点，也是最小值点.

解：如图，设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为m，

半圆的面积为m2，所以矩形的面积为m2，

所以矩形的另一边长为m.                （2分）

因此铁丝的长为，， （7分）

所以.                            （9分）

令，得（负值舍去）. （10分）

当时，；当时，.     （12分）

因此，是函数的极小值点，也是最小值点.            （13分）

所以，当底宽为m时，所用材料最省.                       （14分）

(1) 取得最大值；（2）；

（3）整数的最大值是.

试题分析：（1）先求，根据导数判断函数的单调性，再利用单调性求函数的最大值；

（2）当时，有，再根据（1）中有则，所以；

（3）将不等式先转化为，再利用导数求的最小值，因为，结合（1）中的，则，

所以函数在上单调递增．因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以．故整数的最大值是.  

试题解析：(1）, 

所以 ．

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；

（2）当时，．由（1）知：当时，，即．

因此，有．

（3）不等式化为 

所以对任意恒成立．令，

则，令，则，

所以函数在上单调递增．因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以．故整数的最大值是.  ，通过放缩法证明不等式；3、恒成立问题，可转化为成立；4、利用导数求函数零点，解决函数的综合问题，要求学生有较高的逻辑思维能力与数学素养.

（Ⅰ)当时,在单调递减,在上单调递增;

当时,在单调递减,在,上单调递增;

当时,在上单调递增;

当时,在单调递减, 在,上单调递增;

（Ⅱ）

（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）利用导数的符号确定函数的单调区间。函数含有参数，故需要分情况讨论.

（Ⅱ）思路一、一般地若任意使得，则;若任意使得，则.由得：恒成立，所以小于等于的最小值.

思路二、除外,是的一个极值点，故可首先考虑这个特殊值.由得: ，这样只需考虑时在内是否恒成立.这是本题的特点，需要仔细观察、分析.若发现其特点，则运算大大简化.所以这个题有较好的区分度.

（Ⅲ）涉及数列求和的不等式的证明，一般有两种类型，一种是先求和，后放缩；一种先放缩，后求和.

本题显然属于后者.

解答题中的最后一问，往往要用前面的结论，本题也不例外.由（Ⅱ）取可得：，由此可将不等式左边各项放缩.

但是如果第一项也用这个结论来放缩，则得不到右边的式子.这时就考虑从第二项开始，或从第三项开始用这个结论.

试题解析：（Ⅰ）

当时,在单调递减,在上单调递增;

当时,在单调递减,在,上单调递增;

当时,在上单调递增;

当时,在单调递减, 在,上单调递增.

（Ⅱ）法一、由得：

令，则

令，则即

所以由得

所以在内单调递减，在内单调递增.所以

从而

法二、由得:

又时, 在单调递减,在上单调递增

所以即:

所以若在内恒成立，实数的取值范围为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知: 又时, 即(时取等号)

所以当时:

又,所以

．

解：（I）因为

所以点（1，0）同时在函数的图象上 ………………1分

因为   ………………3分

 ………………5分

由已知，得   ………………6分

（II）因为………………7分

所以………………8分

当时，

因为恒成立，

所以上单调递增，无极值  ………………10分

当时，

令（舍）………………11分

所以当的变化情况如下表：

   ………………13分

所以当取得极小值，且

 ………………14分

综上，当上无极值；

当

略

（1）x＝0,或x＝3

（2）用m表示最小值（Ⅰ）当时，          －－－ 2分 

（Ⅱ） ①当时，

②当时，

③当时，

(1)由题意,

由，解得x＝0,或x＝3;                            －－－ 3分 

(2)设此最小值为m，

（Ⅰ）当时，

则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以          －－－ 2分 

（Ⅱ）当时，

当时， － 3分 

当时，  －－ 3分 

①当，即时，

②当，即时，

③当时，

⑴ ;⑵

试题分析：⑴由已知先写出，的解析式，然后根据函数的单调性与导函数的关系分别求出的最大值和的最小值，只要使得最大值大于最小值，就能保证题设的条件成立；⑵函数的解析式中含有参数，所以做关于函数解析式的讨论时一定要讨论参数的取值，本题关于参数分三种情况进行讨论，利用导数讨论函数的单调性，利用导数讨论函数的最值，解题时注意要全面讨论，不能漏解.

试题解析：（1）由已知得解得,

当时，，单调递减；当时，，单调递增,

所以,                                3分

又显然则在上是递增函数，，所以,

存在使成立，实数的取值范围是；            .6分

（2）解：，分类讨论：

①当时，,

所以在单调递增，在单调递减，在只有最小值没有最大值,..8分

当，;

②当时，令，得，，与的情况如下：

故的单调减区间是，；单调增区间是．

当时，由上得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．又因为,

设为的零点，易知，且．从而时，；时，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．       .11分

③当时，与的情况如下：

所以的单调增区间是；单调减区间是,

在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．又因为,

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

综上，的取值范围是．                     14分