热门试卷

解：（1）由函数的图象经过点（0，2）可知，b=2，…（2分）

又f‘（x）=3x2+2ax-9，…（4分）

且f′（1）=0得a=3…（6分）

∴f（x）=x3+3x2-9x+2…（7分）

（2）f′（x）=3x2+6x-9=3（x2+2x-3）=3（x+3）（x-1）

令f′（x）＞0，则3（x+3）（x-1）＞0，解得x＜-3或x＞1…（9分）

令f′（x）＜0，则3（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1…（11分）

∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-3）和（1，+∞）

函数y=f（x）的单调递减区间为（-3，1）…（12分）

解：∵f（x）=x3-x2-8x+1，

∴f′（x）=x2-2x-8，令f′（x）=0，得x=-2或x=4．

当x∈（-6，-2）时，f′（x）＞0；

当x∈（-2，4）时，f′（x）＜0；

当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．

∴f（x）的递增区间为[-6，-2），（4，6]，递减区间为[-2，4]．

当x=-2时，f（x）取得极大值f（-2）=；

当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=-．

解：（1）因为f‘（x）=lnx+1，由f'（x）＞0，得，

所以f（x）的单调增区间为，

又当时，f'（x）＜0，则f（x）在上单调减，

当时，f'（x）＞0，则f（x）在上单调增，

所以f（x）的最小值为． 

（2）因为f'（x）=lnx+1，，

设公切点处的横坐标为x°，

则与f（x）相切的直线方程为：y=（lnx°+1）x-x°，

与g（x）相切的直线方程为：，

所以，

解之得，

由（1）知，所以． 

（3）若直线l1过（e2，2e2），则k=2，此时有lnx°+1=2（x°为切点处的横坐标），

所以x°=e，m=-e，

当k＞2时，有l2：y=（lnx°+1）x-x°，l1：y=（lnx°+1）x，且x°＞2，

所以两平行线间的距离，

令h（x）=xlnx-（lnx°+1）x+x°，因为h'（x）=lnx+1-lnx°-1=lnx-lnx°，

所以当x＜x°时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，x°）上单调减；

当x＞x°时，h'（x）＞0，则h（x）在上单调增，

所以h（x）有最小值h（x°）=0，即函数f（x）的图象均在l2的上方，

令，

则，

所以当x＞x°时，t（x）＞t（x°），

所以当d最小时，x°=e，m=-e．

解：（1）由题意得f′（x）=3x2+2x-3a2≤0对x∈[-1，1]恒成立，

∴，解得：a≤-或a≥，

（2）由题意得x3-3a2x-3a-25≤0对x∈[0，3]恒成立，

令h（x）=x3-3a2x-3a-25，

则h′（x）=3（x+a）（x-a），

∴h（x）在[0，a]递减，在[a，+∞）递增，

当a≥3时，h（0）=-3a-25≤0，满足题意，

当0＜a＜3时，，

解得：≤a≤3，

综上：a≥．

解：（Ⅰ）∵，

∴f（x）恒过（1，0），

∴p（1，0），g（1）=0，

∴b=2；

∵，f‘（1）=0，

∴a=2，即a=2，b=2．

（Ⅱ）证：，

即证x＞0且x≠1时，f（x），g（x）异号

∵g（x）=x2+x-2=（x-1）（x+2）

∴当x＞1时，g（x）＞0

∵

∴f（x）在（1，+∞）单调递减，又f（1）=0

∴f（x）＜f（1）=0，

∴

∵当0＜x＜1时，g（x）＜0

∴

∴f（x）＞f（1）=0，

∴

综上得证．

（Ⅲ）∵令（n≥2），

∴，

∴

…

∴，

∴．

解：（1）函数的图象经过（0，0）点，

∴c=0．

又图象与x轴相切于（0，0）点，

y‘=3x2-6x+b，

∴0=3×02-6×0+b，

解得b=0．

（2）y=x3-3x2，

y'=3x2-6x，

当x＜2时，y'＜0；当x＞2时，y'＞0．

则当x=2时，函数有极小值-4．

（3）y'=3x2-6x＜0，

解得0＜x＜2，

∴递减区间是（0，2）．

解：（Ⅰ）∵，，

由，

∴，

又∵a，b∈N*，

∴b=1，a=1；

（Ⅱ）由（1）得，

函数在（-1，+∞）单调递增．

证明：任取x1，x2且-1＜x1＜x2，

=，

∵-1＜x1＜x2，

∴，

∴，

即f（x1）＜f（x2），

故函数在（-1，+∞）上单调递增．

解：（Ⅰ）f′（x）=-m+=，

令h（x）=-mx2+x+m-1（x∈（0，+∞））

当m=0时，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1

∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数

当m≠0时，h（x）=-m（x-1）[x-（-1）]，

当m＜0时，-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数

0＜m≤时，0＜1＜-1，f（x）在（0，1），（-1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，-1）上是增函数；

（Ⅱ）当m=时，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，2）上是增函数

∴对任意x1∈（0，2），f（x1）≥f（1）=，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），

所以g（x2）≤，x2∈[1，2]，

即存在x2∈[1，2]使g（x）=x2-2x+n≤ 即n-1≤，解得n≤．

解：（1）若m=1，a=0，

则f（x）=x|x|-|x|+1，

①x≥0时，f（x）=x2-x+1，

对称轴x=，开口向上，

∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；

②x＜0时，f（x）=-x2+x+1，

对称轴x=-，开口向下，

∴f（x）在（-∞，0）递增；

综上：f（x）在（-∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．

（2）a=1时，f（x）=mx|x-1|-|x|+1，

①x＜0时，f（x）=mx（1-x）+x+1=-mx2+（m+1）x+1，

△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，

令m2+6m+1=0，解得：m=-3±2，

当m＜-3-2或x＞-3+2时，△＞0，有2个零点，

当-3-2＜m＜-3+2时，△＜0，没有零点，

当m=-3±2时，△=0，有1个零点；

②0≤x≤1时，f（x）=mx（1-x）-x+1=-mx2+（m-1）x+1，

△=（m+1）2≥0，

m=-1时，函数有1个零点，m≠-1时，有2个零点；

③x＞1时，f（x）=mx（x-1）-x+1=mx2-（m+1）x+1，

△=（m-1）2≥0，

m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．