- 导数及其应用
- 共31591题
已知函数
正确答案
解析
解：函数的导数为f‘（x）=x2-2x+a，判断知△=4-4a＞0．得a＜1
相应方程的根为x=
令f′（x）=x2-2x+a＜0，解得
又函数在区间[-1，2]上单调递减，
∴
综上得实数a的取值范围为（-∞，-3]
故选D
函数f（x）=loga（x3-3ax）（a＞0，a≠1）在区间（-
A[2，+∞）
B（1，
C[
D[
正确答案
解析
解：令t=g（x）=x3-3ax，则g（x）＞0．得到 x∈（-
由于g′（x）=3x2-3a，故x∈（-
x∈（-
∴当a＞1时，函数y=logat为增函数，
函数f（x）减区间为（-
当0＜a＜1时，函数y=logat为减函数，
则f（x）的增区间为（-
∵f（x）在区间（-
∴
综上，a∈[
故选：C．
（2015春•成都期中）已知y=
正确答案
解析
解：若y=
只需y′=x2+2bx+（b+6）=0有2个不相等的实数根，
即只需△=4b2-4（b+6）＞0，解得：b＜-2或b＞3，
故选：D．
设f（x）=
（Ⅰ）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．
正确答案
解：（Ⅰ）当t=8时，g（x）=4x-
∴y=f（x）-g（x）=
令y′＞0，得x＜-2或x＞2，令y′＜0，得-2＜x＜2
故所求函数y=f（x）-g（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=
由h′（x）=
当x∈（
当x变化时，h（x）与h′（x）的变化情况如下表：
∴h（x）在（0，+∞）内有唯一的极小值，故该极小值也是最小值，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值h（）=0，故当x＞0时，f（x）-g（x）≥0对任意正实数t成立．
故当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t都成立．
解析
解：（Ⅰ）当t=8时，g（x）=4x-
∴y=f（x）-g（x）=
令y′＞0，得x＜-2或x＞2，令y′＜0，得-2＜x＜2
故所求函数y=f（x）-g（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=
由h′（x）=
当x∈（
当x变化时，h（x）与h′（x）的变化情况如下表：
∴h（x）在（0，+∞）内有唯一的极小值，故该极小值也是最小值，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值h（）=0，故当x＞0时，f（x）-g（x）≥0对任意正实数t成立．
故当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t都成立．
（2015秋•金台区期末）设p：f （x）=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，q：m≥
正确答案
解析
解：由f （x）=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，
得f′（x）=3x2+4x+m≥0在R上恒成立，只需△=16-12m≤0，即m≥
∴命题p等价于命题：m≥
∴p是q的充分必要条件
故选C
函数f（x）=x（ex+1）+
正确答案
（-1，+∞）（注：[-1，+∞）也可）
解析
解：f′（x）=ex+1+xex+x=（ex+1）（x+1），
令f′（x）＞0，得x＞-1，
∴函数f（x）的单调增区间为（-1，+∞），
故答案为：（-1，+∞）．
函数y=x+xlnx的单调递减区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵y=x+xln x
∴函数的定义域为（0，+∞）．
y′=2+lnx，
由y′＜0，解得0＜x＜e-2，即函数y=x+xln x的单调递减区间是（0，e-2），
故选：B．
函数f（x）=x3-3x-1，（x∈R）的单调减区间是_______．
正确答案
[-1，1]
解析
解：f′（x）=3x2-3，
令f′（x）≤0，解得-1≤x≤1．
∴函数f（x）的单调减区间是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．
已知函数f（x）=
正确答案
（
解析
解：∵f（x）=
令f′（x）=0，得x=
∴在（0，
∴f（x）在（0，
∵函数f（x）在区间[1，10]上存在增区间，
∴1≤
∴
故答案为：（
已知函数f（x）=
正确答案
（-∞，-2]∪[3，+∞）
解析
解：f′（x）=x2+2mx-3m2，
∵f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
∴f′（x）≤0在（-2，3）上恒成立，即x2+2mx-3m2≤0恒成立，
∴
解得m≥3或m≤-2，
故答案为：（-∞，-2]∪[3，+∞）．
已知函数f（x）=x4-3x2+6．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．
正确答案
解：（Ⅰ）
令f′（x）＞0得
令f′（x）＜0得
因此，f（x）在区间
在区间
（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），
由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，
因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04-3x02+6-x0（4x03-6x0）=0，
整理得（x02+1）（x02-2）=0，解得
所以的方程为y=2
解析
解：（Ⅰ）
令f′（x）＞0得
令f′（x）＜0得
因此，f（x）在区间
在区间
（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），
由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，
因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04-3x02+6-x0（4x03-6x0）=0，
整理得（x02+1）（x02-2）=0，解得
所以的方程为y=2
设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a≥-1，求f（x）的单调区间．
正确答案
解：由已知得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且
（1）当-1≤a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得
从上表可知
当时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减．
当时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在上单调递减，函数f（x）在上单调递增．
解析
解：由已知得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且
（1）当-1≤a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得
从上表可知
当时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减．
当时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在上单调递减，函数f（x）在上单调递增．
已知函数f（x）=sinx-
Af（x）在[0，
Bf（x）在[
C∀x∈[0，π]，f（x）≤f（
D∃x∈[0，π]，f（x）＞f（
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=sinx-
∴f′（x）=cosx-
令f′（x）=0，得x=
∴x∈[0，
x∈[
∴f（x）在x=
∴选项A、B、D错误，C正确．
故选：C．
已知函数f（x）=x2-2alnx．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线的斜率为3，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）∵
所以有-2a+2=3，
∴a=-1；
（2）由题意得：
即a≤x2在[1，2]恒成立，
∴a≤（x2）min=1，
∴a≤1．
解析
解：（1）∵
所以有-2a+2=3，
∴a=-1；
（2）由题意得：
即a≤x2在[1，2]恒成立，
∴a≤（x2）min=1，
∴a≤1．
已知函数f（x）=lnx．
（1）方程f（x+a）=x有且只有一个实数解，求a的值；
（2）若函数
正确答案
解：（1）由题意得，函数y=f（x+a）=ln（x+a）与直线y=x相切，
设切点为（x0，y0），
∴
∴x0=0，a=1；
（2）
由已知
当
则x1+x2=m，x1x2=1，
又由x1，x2为h（x）=lnx-cx2-bx的零点可得
两式相减
而
可得y=
令
设函数
则y=G（t）在
所以
即
解析
解：（1）由题意得，函数y=f（x+a）=ln（x+a）与直线y=x相切，
设切点为（x0，y0），
∴
∴x0=0，a=1；
（2）
由已知
当
则x1+x2=m，x1x2=1，
又由x1，x2为h（x）=lnx-cx2-bx的零点可得
两式相减
而
可得y=
令
设函数
则y=G（t）在
所以
即
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